Surjektivität/Injektivität einer Abbildung

Question

Aufgabe:

Es soll überprüft werden, ob folgende Funktion injektiv bzw surjektiv ist.

f: ℝ² → ℝ², (x, y) ↦ (x+1, -y)

Problem/Ansatz:

Injektivität stellt kein Problem dar, lediglich verstehe ich nicht, wie man formal richtig zeigt, dass sie surjektiv ist, oder eben nicht.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Sei \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) durch \(g(x,y)=(x-1,-y)\) gegeben.

Dann ist \(g\circ f=id_{\mathbb{R}^2}\) und \(f\circ g=id_{\mathbb{R}^2}\).

\(f\) besitzt also eine Umkehrabbildung und ist damit bijektiv.

Comments

Wenn ich die Funktion ℝ → ℝ, (x,y) ↦ (-y, x) gegeben habe und auf Sirjektivität prüfen soll, kann ich also analog so verfahren:

Sei g(x,y) = (y,-x). Dann ist $$f\circ g=id_{\mathbb{R}^{2} }$$ => f ist bijektiv, da Umkehrabbildung existiert => surjektiv?

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Du musst beides zeigen:

\(g\circ f=id_{\mathbb{R}^2}\) und \(f\circ g=id_{\mathbb{R}^2}\).

Dann ist alles bestens.

Answer 2

wie man formal richtig zeigt, dass sie surjektiv ist

Wenn x ganz ℝ durchläuft, dann durchläuft auch x+1 ganz ℝ.

Wenn y ganz ℝ durchläuft, dann durchläuft auch - y ganz ℝ.

Wenn (x|y) ganz ℝ×ℝ durchläuft, dann durchläuft auch (x+1|-y) ganz ℝ×ℝ.

Answer 3

Man kann doch leicht sehen, dass diese Abbildung eine einfache Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor  \( \begin{pmatrix} +1\\-1\end{pmatrix} \)  ist.

Das ist selbstverständlich eine bijektive (also injektive und surjektive) Abbildung von ℝ² auf ℝ^{2 .}

Comments

Man kann doch leicht sehen, dass diese Abbildung eine einfache Parallelverschiebung  ... ist

Das sehe ich nicht so.

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Naja, wenn man sich mal so ein paar Jahre (bis Jahrzehnte) ausführlich mit Geometrie in der Ebene beschäftigt hat, bringt man das halt nicht mehr weg ...

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Es handelt sich um eine Spiegelung an der x-Achse,

gefolgt von einer Translation mit dem Vektor (1,0).

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Oh je, da habe ich anscheinend (ganz zu Beginn) ein Minuszeichen übersehen. Die Bijektivität ist damit allerdings nicht verletzt. Sorry.

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Alles klar! Kein Problem ;-)