Wie kommt man auf die Schnittmenge?

Question

Wie kommt man hier rechnerisch auf die Schnittmenge von 0,15? Diese wird ja benötigt, um zu prüfen, ob die beiden Ereignisse disjunkt sind. Man kann sie der Aufgabenstellung entnehmen, aber ich würde gerne wissen, ob man sie mit den gegebenen Angaben auch berechnen könnte.

Text erkannt:

II. In einem Restaurant bestellen gewöhnlich \( 60 \% \) der Gäste eine Vorspeise und \( 70 \% \) eine Nachspeise. \( 15 \% \) der Gäste nehmen weder Vorspeise noch Nachspeise.
a) Sind die Ereignisse „Gast bestellt keine Vorspeise" und „Gast bestellt keine Nachspeise" stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.
Nein, da
\( P(\bar{V}) \cdot P(\bar{N})=0,4 \cdot 0,3=0,12 \neq 0,15=P(\bar{V} \cap \bar{N}) . \)

Comments

auf die Schnittmenge von 0,15?

auf deren Wahrscheinlichkeit von 0,15?

Answer 1

Aus der Kenntnis von \(P(V)\) und \(P(N)\) kannst du \(P(\bar N \cap \bar V)\) nicht bestimmen, da unklar ist, wie groß \(V\cap N\) ist.

Grundsätzlich gilt:

$$1 = P(V \cup N) + P(\overline{V\cup N}) = 0.6+0.7 - P(V \cap N) + P(\bar V \cap \bar N)$$

Also muss folgende Relation erfüllt sein:

$$P(V \cap N) = 0.3 + P(\bar V \cap \bar N)$$

Diese Gleichung hat unendlich viele Wahrscheinlichkeiten als Lösungen.

Zum Beispiel entspräche die Lösung

\(P(V \cap N) = 0.42,\;P(\bar V \cap \bar N)=0.12\)

der stochastischen Unabhängigkeit von \(\bar V\) und \(\bar N\).

Answer 2

Die angegebene Lösung (mit Rechnung) ist absolut korrekt.

Man sollte nur noch klar machen (z.B. mit Euler-Venn-Diagramm), wie man auf P(V∩N) = 0.45 kommt.