Hilfe bei Polynom findung.

Question

Legen Sie ein Polynom genügend hohen Grades durch die gegebenen Werte und integrieren Sie es.

X	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0
Y	1	2	4	8	16

Ich habe keine Idee bezüglich des Polynoms wie ich dort vorgehen soll das integrieren sollte ich selber hinbekommen.

Answer 1

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Stelle die 5 Gleichungen auf:

f(0) =1

f(0,5) = 2

usw.

Integral:

F(x) = a/5*x^5+ b/4*x^4 + ....

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{c} x_k & y_k\\\color{blue}{0} & \underline1\\&&\frac{2-1}{{\color{red}\frac12}-{\color{blue}0}}=\underline2\\\color{red}{\frac12} & 2&&\frac{4-2}{{\color{orange}1}-{\color{blue}0}}=\underline2\\&&\frac{4-2}{{\color{orange}1}-{\color{red}\frac12}}=4&&\frac{4-2}{{\color{fuchsia}\frac32}-{\color{blue}0}}=\underline{\frac43}\\\color{orange}{1} & 4&&\frac{8-4}{{\color{fuchsia}\frac32}-{\color{red}\frac12}}=4&&\frac{\frac83-\frac43}{{\color{green}2}-{\color{blue}0}}=\underline{\frac23}\\&&\frac{8-4}{{\color{fuchsia}\frac32}-{\color{orange}1}}=8&&\frac{8-4}{{\color{green}2}-{\color{red}\frac12}}=\frac83\\\color{fuchsia}{\frac32} & 8&&\frac{16-8}{{\color{green}2}-{\color{orange}1}}=8\\&&\frac{16-8}{{\color{green}2}-{\color{fuchsia}\frac32}}=16\\\color{green}{2} & 16\end{array}$$

$$f(x)=\underline1+(x-{\color{blue}{0}})\left(\underline2+\left(x-{\color{red}\frac12}\right)\left(\underline2+(x-{\color{orange}1})\left(\underline{\frac43}+\underline{\frac23}\left(x-{\color{fuchsia}\frac32}\right)\right)\right)\right)$$$$f(x)=\frac23x^4-\frac23x^3+\frac{11}{6}x^2+\frac76x+1$$

~plot~ 2/3*x^4-2/3*x^3+11/6*x^2+7/6*x+1 ; {0|1} ; {0.5|2} ; {1|4} ; {1.5|8} ; {2|16} ; [[-2|3|0|20]] ~plot~

Answer 3

Hi,

Da es fünf Punkte gibt reicht es ein Polynom 4ten Grades zu nehmen um alle zu erschlagen.

f(0) = 1
f(0,5) = 2
f(1) = 4
f(1,5) = 8
f(2) = 16

Die Bedingungen in ein Gleichungssystem überführt und lösen.

Kontrolle: f(x) = 2/3*x^4 - 2/3*x^3 + 11/6*x^2 + 7/6*x + 1

Das zu integrieren sollte kein Problem sein?

Grüße

Comments

Da es fünf Punkte gibt reicht es ein Polynom 4ten Grades zu nehmen

um alle zu erschlagen.

Mord am Morgen

bringt schnell Gerichts- und Kerkersorgen.

Drum bring das Ding am Abend um,

und flieh heimlich ins Ausland, sei nicht am Morgen so dumm!

Mit 5 Toten bist du ein kleiner Massenschlächter,

und warst die längste Zeit hier Forumswächter.

:)

Answer 4

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Eigenschaften

f(0)=1
f(0.5)=2
f(1)=4
f(1.5)=8
f(2)=16

Gleichungssystem

e = 1
1/16·a + 1/8·b + 1/4·c + 1/2·d + e = 2
a + b + c + d + e = 4
81/16·a + 27/8·b + 9/4·c + 3/2·d + e = 8
16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 16

Errechnete Funktion

f(x) = 2/3·x^4 - 2/3·x^3 + 11/6·x^2 + 7/6·x + 1

Comments

Und wie komme ich aber zum gleichungssystem?

---

Du nimmst die allgemeine Funktionsgleichung

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

Nun besagt die 1. Bedingung

f(0) = 1

f(0) bedeutet, nimm f(x) und setze für x = 0 ein, also

a·0^4 + b·0^3 + c·0^2 + d·0 + e = 1

Vereinfache das und du hast mit

e = 1

bereits die erste Gleichung. Das machst du natürlich für alle 5 Bedingungen. Probier das mal.