Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems
\( \vec{y}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \vec{y}(t) \)

Problem/Ansatz: Ich habe die Eigenwerte berechnet und dann den Eigenvektor, komme da aber durcheinander, also ich komme als Eigenwert auf -2+i und denen das konjugierte also -2-i dann komme ich auf dem Eigenvektor (1, (-1-i))

Answer 1

Rechne einfach komplex weiter und lass Dich nicht irritieren. Am Ende erhältst Du zwei komplexe Lösungen. Um auf reelle Lösungen zu kommen, nimmt man von diesen den Real- und Imaginärteil. Das sind dann die gesuchten reellen Lösungen ("Fundamentalsystem").

Deine EWe stimmen, und Dein EV ist einer zum ersten EW, soweit also alles gut.

Answer 2

Hallo,

ich habe erhalten:

\( \operatorname{det}(A-\boldsymbol{\lambda} I)=\left|\begin{array}{cc}-\boldsymbol{\lambda}-\mathbf{3} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{2} & -\boldsymbol{\lambda}-\mathbf{1}\end{array}\right|=\mathbf{0} \)

 \( \lambda^{2}+\mathbf{4} \boldsymbol{\lambda}+\mathbf{5} \rightarrow \lambda_{1,2}= \pm i-2 \)

Eigenwert    Eigenvektoren:

-2-i              \( \begin{pmatrix} -1-i\\1\\ \end{pmatrix} \)

-2+i             \( \begin{pmatrix} -1+i\\1\\ \end{pmatrix} \)

\( y=C_{1} e^{-2 t}\left(\cos (t)\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)-\sin (t)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\right)+C_{2} e^{-2 t}\left(\cos (t)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+\sin (t)\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)\right) \)

Comments

Aber müssten die eigenvektoren nicht von den komponenten getauscht werden also (1, -1-i) weil wenn man in die matrix den eigenwert eingesetzt erhält man doch das lgs: (-1-i)x -y = 0 und 2x + (1-i)y = 0

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Also ich komme jetzt auf das