Welche der folgenden Aussagen sind wahr/falsch?

Question

Ich schreibe meine Lösung dazu und bitte um Korrektur. Danke im Voraus

1. Sei f: \( C^{2,3} \) → \( C^{5} \) eine surjektive lineare Abbildung.
Dann ist f injektiv. (f)

2. Seien →v1,→v2,→v3 ∈ Cⁿ.
Dann gilt span{→v1,→v2,→v3}=span{span{→v1,→v2},→v3}. (f)

3. Seien p, q ∈ C[t] zwei Polynome.
Dann gilt immer deg(p+q)=deg(p)+deg(q). (f)

4. Seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum und B1,B2 zwei Basen von V. Sei weiter f:V→V eine lineare Abbildung.
Dann ist f genau dann bijektiv, wenn die Matrixdarstellung f_B1,B2 invertierbar ist. (w)

5. Seien V ein K-Vektorraum und U⊆V mit den Eigenschaften:
1. U≠∅
2. Für alle u,v ∈ U, λ ∈ K gilt λu+v ∈ U.
Dann ist U ein Teilraum von V. (w)

6. Seien A,B ∈ C^n,n mit A^-1 = B^-1.
Dann gilt A=B. (w)

7. Vektoren →v1,…,→vk ∈ Cⁿ sind genau dann linear unabhängig, wenn für alle 1≤i,j≤k gilt: → v_i ≠ λ→v_j für alle λ∈C. (w)

8. Sei f: R→R, \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)  ↦ \( \begin{pmatrix} 2x+5y\\x^2-(x-1)^2+1 \end{pmatrix} \)
Dann ist f linear. (w)


9. Seien A, B ∈ C^n,n invetierbar.
Dann gilt (A+B)^-1=A^-1+B^-1. (f)

10. Sei V={p ∈ R[x] | p′(1)=0}.
Dann ist V ein Teilraum von R[x]. (w)

Answer 1

Folgende Fehler hast du gemacht:

2. ist wahr.

7. ist falsch.

Alle anderen Punkte sind OK.