Wie kann man beweisen, dass f in (0,0) nicht stetig ist?

Question

Aufgabe:

Hallo,

Kann jemand bei der Aufgabe helfen?

Bin nur bis # ( Siehe Bild) gelangt.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}=1+\frac{2}{x^{2}+y^{2}} \ldots \\\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Im Voraus Danke

Comments

Berechne z.B. \(\displaystyle\lim_{y\to0}f(y^2,y)\).

Answer 1

Ich berechne \(\lim_{(0,y)\to (0,0)} f(0,y)\):

\(\lim_{y^2\to 0}\frac{\sin(y^2)}{y^2}=1\neq 0 = f(0,0)\)

Comments

Ok cool.. man muss also eine bestimmte Folge finden, die gegen Null konvergiert aber für die verschiedene Grenzwerte herauskommen.

Kann man es aber auch einfach so errechnen?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} 0=\stackrel{0}{=} \\ \lim \limits_{y \rightarrow 0} \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \left(y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x \sin y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right) \\ =\lim \limits_{y \rightarrow 0}\left(\frac{\sin y^{2}}{y^{2}}\right)^{l^{2} \text { tospital }}=\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{2 y \cos \left(y^{2}\right)}{2 y}=1\end{array} \)