Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu 1) Die Komponenten der Vektoren in den beiden Basen \(B\) und \(B1\) sind bezüglich der 3-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E3\) angebeben. Daher kennen wir ihre Transformationsmatrizen in die Basis \(E\):$$_{E3}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3\\3 & 2 & 2\\5 & 3 & 3\end{array}\right)\quad;\quad _{E3}\mathbf{id}_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$
Die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(B1\) ist daher:$$_{B1}\mathbf{id}_B=_{B1\!}\mathbf{id}_{E3}\cdot _{E3}\mathbf{id}_B=\left(_{E3}\mathbf{id}_{B1}\right)^{-1}\cdot _{E3}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\3 & 2 & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\right)$$
Dein Ergebnis kann ich also bestätigen.
zu 2) Die Abbildungsmatrix \(A\) erwartet Eingangsvektoren bezüglich der 2-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E2\) und liefert Ausgangsvektoren bezüglich der schon oben verwendeten 3-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E3\):$$A=_{E2\!}A_{E3}$$
Die Koordinaten der neu auftachenden Basis \(B2\) sind bezüglich der Basisvektoren von \(E2\) gegeben, sodass wir auch hier die Transformationsmatrix von \(B2\) nach \(E2\) kennen:$$_{E2}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & -1\end{array}\right)$$
Die gesuchte Abbildungsmatrix können wir daher so berechnen:$$_{B2}A_B=_{B2}\mathbf{id}_{E2}\cdot _{E2\!}A_{E3}\cdot _{E3}\mathbf{id}_{B}=\left(_{E2}\mathbf{id}_{B2}\right)^{-1}\cdot A\cdot _{E3}\mathbf{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-8 & -5 & -3\\-44 & -26 & -28\end{array}\right)$$