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Aufgabe:

Ein rundum gemauerter unterirdischer Abwasserkanal in Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis hat einen Gesamtumfang von 5 m. Um günstige Strömungsverhältnisse zu erreichen, soll der Kanal einen möglichst großen Querschnitt auf- weisen. Bestimmen Sie die Abmessungen


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie es geht.

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Nebenbedingung:
U = 2·r + 2·h + pi·r → h = 1/2·U - 1/2·(pi + 2)·r

Hauptbedingung:
A(r, h) = 2·r·h + 1/2·pi·r^2
A(r) = 2·r·(1/2·U - 1/2·(pi + 2)·r) + 1/2·pi·r^2
A(r) = U·r - 1/2·(pi + 4)·r^2
A'(r) = U - (pi + 4)·r = 0 → r = U/(pi + 4)

h = 1/2·U - 1/2·(pi + 2)·r
h = 1/2·U - 1/2·(pi + 2)·U/(pi + 4)
h = U/(pi + 4)

Daraus folgt: r = h = U/(pi + 4)

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Also was Ist das Ergebnis?

Für U = 5 einsetzen und die exakte Lösung näherungsweise mit einer Dezimalzahl angeben.

+1 Daumen

U = 2r+2h+r*pi = 5

r*(2+pi)+2h= 5

h= (5-r*(2+pi)/2

A= 2r*h+0,5r^2*pi

A(h) = r*(5-r(2+pi)+0,5r^2*pi

A'(h) = 0

r= ?

h= ?

Avatar von 39 k

Also was Ist das Ergebnis?

Das wirst du doch wohl aus den Angaben von ggT22

selbst herausbekommen. Wir sind nicht deine Rechensklaven!

Du musst nicht antworten

Man könnte Wolfram auch gleich die Originalaufgabe mit r und h vorwerfen. Dazu ist dann nur der Ansatz nötig von dem man selber auch in der Lösung ausgeht.

blob.png

Du musst nicht antworten

Nachdem du soviel Eigenleistung präsentiert hast,
ist es ohnehin sinnlos.

+1 Daumen

Aloha :)

Wir nennen den Radius des aufgesetzten Halbkreises \(r\). Dann ist die Breite des Rechtecks \(2r\). Die Höhe des Rechtecks nennen wir \(h\). Dann beträgt die Querschnittfläche:$$F=\underbrace{\text{Fläche Halbkreis}}_{\frac12\pi\cdot r^2}+\underbrace{\text{Fläche Rechteck}}_{2r\cdot h}$$$$F=\frac12\pi r^2+2rh=\frac12\pi r^2\pink{-2r^2}+\left(\pink{2r^2}+2rh\right)=\frac12\pi r^2-2r^2+\color{blue}2r(r+h)$$

Das ist ein Funktion, die von zwei Variablen abhängt. Um eine der beiden Variablen loszuwerden verwenden wir die Nebenbedigung an den Umfang des Kanals:$$\small U=\underbrace{\text{Umfang Halbkreis}}_{\pi\cdot r}+\underbrace{\text{Höhe Rechteck links}}_{h}+\underbrace{\text{Breite Rechteck}}_{2r}+\underbrace{\text{Höhe Rechteck rechts}}_{h}$$$$U=\pi\,r+h+2r+h=\pi r+2(h+r)$$Dieser Umfang soll gleich \(5\) sein:$$\pi r+2(h+r)=5\implies2(h+r)=5-\pi r\implies\color{blue}2r(r+h)=5r-\pi r^2$$

Diese Nebenbedingung setzen wir in die Flächenformel von oben ein:$$F(r)=\frac12\pi r^2-2r^2+{\color{blue}5r-\pi r^2}=5r-2r^2-\frac\pi2r^2=5r-\frac{4+\pi}{2}r^2$$Die Extremwerte der Fläche finden wir dort, wo die Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=F'(r)=5-(4+\pi)r\implies \underline{\underline{\green{r=\frac{5}{4+\pi}}}}$$

Dieses Ergebnis für \(r\) setzen wir in die Nebenbedinung ein, um \(h\) zu erhalten:$${\color{blue}2r(r+h)=5r-\pi r^2}\implies $$$$\small h=\frac{5r-\pi r^2}{2r}-r=\frac{5-\pi r}{2}-\frac{2r}{2}=\frac{5-(\pi+2)\green r}{2}=\frac{5-\pi r}{2}-\frac{2r}{2}=\frac{5-(\pi+2)\green{\frac{5}{4+\pi}}}{2}$$$$\small \phantom h=\frac{\frac{5(4+\pi)}{(4+\pi)}-\frac{(\pi+2)\cdot 5}{(4+\pi)}}{2}=\frac{(20+5\pi)-(10+5\pi)}{2(4+\pi)}=\frac{10}{2(4+\pi)}=\frac{5}{4+\pi}=r$$

Die Abmessungen des Kanals sind also:$$\boxed{r=h=\frac{5}{4+\pi}\approx0,7001}$$

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