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Aufgabe:Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A ? X. Zeige die folgenden Aussage

A(Menge Aller Berührungspunkte) ist abgeschlossen.


Problem/Ansatz:

ich komme hier einfach nicht weiter

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sei A ? X

Was bedeutet das Fragezeichen in diesem Zusammenhang.

A(Menge Aller Berührungspunkte) ist abgeschlossen.

Was bedeutet das?

Hei,

da hat es mir wohl in Latex die Formatierung zerrissen, der obere Satz ist eigentlich trivial, es sollte eigentlich heißen dass A Teilmenge von X ist,

Die Aufgabe ist es zu beweisen dass die Menge aller Berührungspunkte abgelschlossen, sprich das Komplement von A offen ist.

ich habe auch schon ein Ansatz aber siehe Anhangmathe.png

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\bar{A}^{c} \text { istollen } \\ \Rightarrow 3 \varepsilon>0: U_{\varepsilon}(\bar{A}) \cap \bar{A}=\varnothing \\ \bar{A}=(A+\partial A) \Rightarrow \bar{A}^{c}=(A+\partial A)^{c} \\ \Rightarrow x \in \bar{A} \Rightarrow x \notin \bar{A}^{c} \Rightarrow x \notin(A+\partial A)^{c} \Rightarrow x \notin A^{c} \wedge x \notin \partial A^{c} \\ \Rightarrow \bar{A}^{c}=A^{c} \Rightarrow \bar{A}^{c} \text { ist oller }\end{array} \)
\( \Rightarrow \) Aulsabe: \( \bar{A} \) ist abgescllosser

1 Antwort

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Hallo,

Deinen Erklärungen kann ich nicht folgen. Ich schreibe mal auf, wie ich das machen würde:

Sei also \(A \sub X \) und H die Menge A vereinigt mit ihren Berührpunkten. Zu zeigen ist: H ist abgeschlossen, also \(H^c\) ist offen.

Sei \(x \in H^c\). Weil x kein Berührpunkt ist, existiert eine s-Umgebung \(B(x,s)\) (offene Kugel um x mit Radius s) mit \(A \cap B(x,s)=\emptyset\).

Diese Umgebung enthält aber auch keinen Berührpunkt von A. Denn wenn \(y \in B(x,s)\) ein Berührpunkt wäre, dann wählen wir einen Radius t mit \(B(y,t) \sub B(x,s)\) - das geht mit \(t < s-d(x,y)\). Weil y ein Berührpunkt ist ist, gäbe es ein \(a \in A\) mit \(a \in B(y,t) \sub B(x,s)\). Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion der s-Umgebung.

Also gilt nicht nur \(A \cap B(x,s)=\emptyset\), sondern auch \(H \cap B(x,s)=\emptyset\),

Avatar von 14 k

Danke bin mit der Hilfe von meinem Prof auch auf dasselbe Ergebnis gekommen! (zumindest ein Ergebnis auch in der Richtung)

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