Hallo,
Deinen Erklärungen kann ich nicht folgen. Ich schreibe mal auf, wie ich das machen würde:
Sei also \(A \sub X \) und H die Menge A vereinigt mit ihren Berührpunkten. Zu zeigen ist: H ist abgeschlossen, also \(H^c\) ist offen.
Sei \(x \in H^c\). Weil x kein Berührpunkt ist, existiert eine s-Umgebung \(B(x,s)\) (offene Kugel um x mit Radius s) mit \(A \cap B(x,s)=\emptyset\).
Diese Umgebung enthält aber auch keinen Berührpunkt von A. Denn wenn \(y \in B(x,s)\) ein Berührpunkt wäre, dann wählen wir einen Radius t mit \(B(y,t) \sub B(x,s)\) - das geht mit \(t < s-d(x,y)\). Weil y ein Berührpunkt ist ist, gäbe es ein \(a \in A\) mit \(a \in B(y,t) \sub B(x,s)\). Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion der s-Umgebung.
Also gilt nicht nur \(A \cap B(x,s)=\emptyset\), sondern auch \(H \cap B(x,s)=\emptyset\),