\( f_{n+1} f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n} \) #
Geht wohl mit vollst. Induktion. Für n=1 ist es ja klar.
Für n+1 hat man
\( f_{n+2} f_{n}-f_{n+1}^{2}= (f_{n+1}+f_n) \cdot f_{n}-( f_n +f_{n-1})^{2} \)
\( = f_{n+1}f_n +f_n^2 - f_n^2 -2f_nf_{n-1} - f_{n-1}^{2} \)
\( = f_{n+1}f_n -f_nf_{n-1}- f_nf_{n-1} - f_{n-1}^{2} \)
\( = f_n(f_{n+1} -f_{n-1})-f_{n-1}(f_n + f_{n-1}) \)
Wegen \( f_{n+1} =f_n +f_{n-1} \) hat man \( f_{n+1} -f_{n-1} =f_{n} \) also weiter
\( = f_nf_{n} -f_{n-1}f_{n+1} = (-1) \cdot (f_{n-1}f_{n+1} -f_n^2)\)
# anwenden gibt \( =(-1)\cdot (-1)^n = (-1)^{n+1} \) q.e.d.