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Aufgabe:

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Aufgabe 4 (5 Punkte). Seien \( k \in \mathbb{N} \) und \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x|>1 \). Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{k}}{x^{n}}=0 . \)

Hinweis: Adaptieren Sie Beispiel 4.16 oder schätzen Sie \( (1+y)^{n} \) für \( n>2 k \) und \( y:=|x|-1 \) gegen einen geeigneten Summanden im binomischen Lehrsatz ab.

Ich würde gerne den Weg sehen mit der Schätzung. Kann mir da jemand weiterhelfen?

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Es genügt zu zeigen, dass

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{n^{k}}{x^{n}} \right| =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{k}}{|x|^{n}} =0 $$

Wegen \(|x|> 1\), gilt \(y=|x|-1> 0\). Damit gilt

$$|x|^n = (1+y)^n =\sum_{l=0}^n\binom nl y^l \stackrel{y>0}{\geq}\binom nl y^l \text{ für } l=1,\ldots , n$$

Für \(n> k+1\) nehmen wir nun folgenden Binomialkoeffizienten:

$$\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k)}{(k+1)!}$$$$=n^{\color{blue}k+1}\frac{1\cdot \left(1-\frac 1n\right)\cdots \left(1-\frac kn\right)}{(k+1)!} \quad (\star)$$

Damit können wir nun nach oben abschätzen:

$$\frac{n^k}{|x|^n}=\frac{n^k}{(1+y)^n}\leq \frac{n^k}{\binom{n}{k+1}y^{k+1}}\stackrel{(\star)}{=}\frac 1n \cdot \frac{(k+1)!}{\left(1-\frac 1n\right)\cdots \left(1-\frac kn\right)y^{k+1}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot \frac{(k+1)!}{y^{k+1}} = 0$$

Fertig.

Avatar von 11 k

\(=n^{\color{blue}k+1}\frac{1\cdot \left(1-\frac 1n\right)\cdots \left(1-\frac kn\right)}{(k+1)!} \quad (\star)\)


was ist mit diesem schritt?

wieso ist k+1 markiert ?

LG

Damit man sich später bei der Benutzung von \((\star)\) beim Abschätzen nicht wundert, wo das \(\frac 1n\) herkommt.

Hättest du auf Anhieb gesehen, dass man aus dem Produkt \(n^{k+1}\) ausklammern kann? Dann Gratulation! :-)

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