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Aufgabe:

Im Folgenden seien (an)n∈N und (bn)n∈N Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen.


Gibt es ein q ∈ R, 0 < q < 1, und ein N ∈ N, so dass fur alle ¨ n ≥ N gilt
pn
|an| ≤ q ,
dann konvergiert die Reihe P∞
n=1 an absolut.
Hinweis: Verwenden Sie das Majorantenkriterium.

Problem/Ansatz:

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Hallo

bei deinem Text scheint was nicht in Ordnung:

1. was ist das pn das da einsam steht?2, oben ist von an und bn die rede. was ist dann mit bn

mit allen |an|<q gibt es keinen beweis, dann könnten alle anführt n>n =q/2 sein müssten also nicht mal eine Nullfolge bilden.

Also bitte die exakte Originalaufgabe

lul

1 Antwort

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Du kennst sicher die Tatsache, dass die geometrische Reihe

\(  \sum\limits_{k=0}^\infty q^k   \) für alle -1<q-1 konvergiert.

Das ist natürlich auch so, wenn die Summe nicht mit k=0 sondern erst

später beginnt. Denn endlich viele Summanden machen ja für die

Konvergenz nichts aus.

Wenn du hast (Ich interpretiere deine Angaben mal so.):

Es ein q ∈ ℝ, 0 < q < 1, und ein N ∈ N, so dass für alle n ≥ N gilt |an| ≤ q ,

dann konvergiert absolut die Summe \(  \sum\limits_{k=1}^\infty a_n \)

Dann kannst du erstmal die ersten Summanden weglassen (s.o.)

und betrachtest nur \(  \sum\limits_{k=N}^\infty |a_n| \).

Wegen |an| ≤ q ist \(  \sum\limits_{k=N}^\infty q^k \) eine Majorante , die

(s.o.) konvergent ist.

Avatar von 289 k 🚀

Wenn nur \(|a_n| \leq q<1\) ist dann konvêrgiert die Reihe sicher nicht.

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