Aufgabe:
Für \( k \in \mathbb{N} \) sei \( a_{k}:=\frac{1}{2^{k-1}} \), falls \( k \) gerade und \( a_{k}:=\frac{1}{2^{k+1}} \), falls \( k \) ungerade.
Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) mit Hilfe des Wurzelkriteriums.
Problem/Ansatz:
Also ich hab das mal umgesetzt zumindest für k gerade finde aber meinen Fehler nicht und komm nicht weiter (Potenzgesetze sind nicht meine Stärke lol)
\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \sqrt[k]{\frac{1}{2^{k-1}}} \) =\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{1}{2^{k-1}}^{\frac{1}{k}} \) =\( \lim\limits_{k\to\infty} \) \( \frac{1^{\frac{1}{k}}}{2^{1}2^{\frac{-1}{k}}} \) = \( \lim\limits_{k\to\infty} \) \( \frac{1}{2} \)\( \frac{1^{\frac{1}{k}}}{2^{\frac{-1}{k}}} \) = ?
Weiter komm ich nicht weil ich keine Ahnung hab wie ich das weiter umformen soll oder geht das schon so und ich kann sagen, dass \( \frac{1}{2} \) < 1 und daraus folgt, dass Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) für k gerade konvergiert?
Für k ungerade ist es ja ziemlich einfach weil sich des wegkürzt..
Warum kann ich außerdem das Quotientenkriterium nicht drauf anwenden?
Danke schon mal im Voraus für eine Antwort mit Lösung oder Erklärung
