Aloha :)
Wir betrachten die Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}8 & 2 & 10\\3 & 1 & 4\\4 & 7 & 11\end{pmatrix}$$
zu 1) Basis des Bildes
Verwende elementare Spaltenoperationen, um die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herauszurechnen. Dabei sollen möglichst viele Zeilen aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null entstehen:
$$\begin{array}{ccc}-4S_2 & & -5S_2\\\hline8 & 2 & 10\\3 & 1 & 4\\4 & 7 & 11\end{array}\to\begin{array}{ccc}\cdot(-1) & +S_1 & -S_1\\\hline\red0 & \red2 & \red0\\-1 & 1 & -1\\-24 & 7 & -24\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline\red0 & \red2 & \red0\\\green1 & \green0 & \green0\\24 & -17 & 0\end{array}$$
Es bleiben 2 Basisvektoren für das Bild übrig. Das Bild hat daher die Dimension \(2\).
zu 2) Basis des Kerns
Verwende elementare Zeilenoperationen, um die linearen Abhängigkeiten aus den Zeilenvektoren herauszurechnen. Dabei sollen möglichst viele Spalten aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null entstehen:
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline8 & 2 & 10 & 0 & -2Z_3\\3 & 1 & 4 & 0\\4 & 7 & 11 & 0 &-Z_3\\\hline0 & -12 & -12 & 0 &\div(-12)\\3 & 1 & 4 & 0 & -3Z_3\\1 & 6 & 7 & 0\\\hline\red 0 & 1 & 1 & 0 &\\\red0 & -17 & -17 & 0 & +17Z_1\\\red1 & 6 & 7 & 0 & -6Z_1\\\hline\red0 & \green1 & 1 & 0 &\Rightarrow \green y+z=0\\\red0 & \green0 & 0 & 0\\\red1 & \green0 & 1 & 0 & \Rightarrow \red x+z=0\end{array}$$
Mit \(\;\green y=-z\;\) und \(\;\red x=-z\;\) können wir alle Vektoren des Kerns angeben:$$\begin{pmatrix}\red x\\\green y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-z\\-z\\z\end{pmatrix}=z\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}_{\vec k_1}$$
Wir erhalten einen Basisvektor für den Kern. Der Kern hat daher die Dimension \(1\).