Sei h : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:a) Wenn h surjektiv ist, ist h⊤ : W∗ → V∗ injektiv.b) Wenn h injektiv ist, ist h⊤ : W∗ → V∗ surjektiv.
a) Da \(h^T\) linear ist, zeigen wir, dass sein Kern nur aus dem Null-Funktional besteht. Sei also für ein \(w^*\in W^*\): \(h^Tw^*=0\) in \(V^*\). Dann gilt für alle \(y \in W\): Es existiert \(x \in V\) mit \(h(x)=y\), also
$$w^*(y)=w^*(h(x))=h^Tw^*(x)=0$$
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