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ich habe eine Frage (Ich würde mich über eine Antwort freuen, da ich meine Klausur noch in dieser Woche habe)

Thema:

Es geht um darstellende Matrizen in der linearen Algebra. Wenn ich jetzt eine lineare Abbildung   f: V -> W habe mit einer Basis U = (u1,… um) des Urbildraum V mit dim(V) = m und einer Basis B = (b1,…,bm) des Bildraumes W mit dim(W) = m und dazu die darstellende Matrix M bekomme.

Nun soll ich die Bildvektoren der Basisvektoren von U bestimmen, also U = (u1,..,un) ist ja die Basis von V, so muss ich f(u1),…,f(un) bestimmen.

Frage:

Ist dann folgender Ansatz korrekt?:

1. Ich bilde die Koordinatenvektoren der Basisvektoren aus U, indem ich je einen Basisvektor ui aus U nehme (i = 1,…,n) und diesen mit den Basis-Vektoren u1,…,un aus U linearkombinatorisch darstelle, also Beispiel:

u1 = 1·u1 + … + 0·un, also wäre der erste Einheitsvektor der Koordinatenvektor zu u1.

2. Ich bilde das Matrix-Vektor-Produkt von diesen Koordinatenvektoren, also den Einheitsvektoren mit der darstellenden Matrix und bekomme die Koordinatenvektoren aus Km, welche ja dann einfach nur die einzelnen Spalten der darstellenden Matrix sind.

3. Ich nehme die gegebene Basis B von W und multipliziere dessen Basis-Vektoren mit den Koordinaten der berechneten Koordinatenvektoren aus Km, also die einzelnen Spalten der Darstellungsmatrix. Ich bilde also eine Linearkombination und die Vektoren die da rauskommen sind die ursprünglich gesuchten Bildvektoren.

Avatar von 1,6 k

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Beste Antwort

Ja, das hört sich alles ganz vernünftig an.

Avatar von 289 k 🚀

Okay danke, das macht mich sicherer.

Nur noch eine kleine Sache:

Sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren aus der Urbild-Basis U, im Prinzip einfach IMMER die Einheistvektoren?


Wenn du die Bilder der Basisvektoren der

gegebenen Basis bestimmen willst, ist es immer so:

Die k-te Spalte liefert die Koordinatenvektoren des

Bildes vom k-ten Basisvektor.

Wenn du allerdings das Bild eines anderen Vektors brauchst,

dann musst du diesen immer erstmal mit der

gegebenen Basis darstellen.

Okay dankeschön

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