CDF von Y = e^x bei gegebener PDF von x

Question

Aufgabe:

Mein Ansatz:
Y = e^x
fy(Y) = Pr(Y = y) = Pr(e^x = y) = Pr(x = ln(y))
Ich setze nun x = ln(y) in die obige Funktion ein:
Integral(1-e^-(2*(ln(y))))dy = Integral(1-e^ln(y^-2))dy = Integral(1-y^-2) dy = [y + 1/y] wenn ich nun für y 0 und unendlich einsetze fällt es mir schwer nach 1 aufzulösen um die CDF zu bekommen.

Answer 1

Da hier schon eine Verteilungsfunktion von \(X\) vorliegt (keine Dichte!), brauchst du auch kein Integral. Mit deiner Rechnung ergibt sich also \(F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm{e}^X\leq y)=P(X\leq \ln(y))=F_X(\ln(y))=1-\frac{1}{y^2}\) für \(y>0\).