Question

Zeigen sie die folgenden Ungleichungen:

Text erkannt:

Übungsaufgabe 2. (7+8+12+11 Pkt.) Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen:
a) \( 2^{n}<n \) ! für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( n \geq 4 \),
b) \( \binom{n}{j} \frac{1}{n^{j}} \leq \frac{1}{j!} \) für alle \( n \in \mathbb{N}, j \in \mathbb{N}_{0} \)
c) \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \sum \limits_{j=0}^{n} \frac{1}{j!}<3 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \),
d) \( \left(\frac{n}{3}\right)^{n} \leq \frac{1}{3} n \) ! für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(Tipp: Verwenden Sie für die zweite Abschätzung in c) die Abschätzung aus a) zusammen mit Satz 1.31(j) und der geometrischen Summenformel aus Satz 1.24. Beachten Sie dabei, dass die Ungleichung aus a) nur für \( n \geq 4 \) gilt.)

Text erkannt:

(j) Aus \( 0<x<y \) folgt \( 0<y^{-1}<x^{-1} \). Insbesondere gilt \( x>0 \Leftrightarrow x^{-1}>0 \).

Text erkannt:

Satz 1.24 (Geometrische Summenformel).
Für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{1\} \) und alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt: \( \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \).

Comments

Hallo

Wie weit bist du selbst gekommen? a) mit Induktion?

b )\( \begin{pmatrix} n\\j \end{pmatrix} \) ausgeschrieben?

d) mit Induktion?

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Eine Alternative zur zweiten Abschätzung in c). Für alle \(n>1\) gilt
\(\displaystyle\begin{aligned}0&\le\sum_{k=2}^n\frac{k-2}{k!}=\sum_{k=2}^n\frac1{(k-1)!}-2\sum_{k=2}^n\frac1{k!}\\&=\left(\sum_{k=0}^n\frac1{k!}-\frac1{0!}-\frac1{n!}\right)-2\left(\sum_{k=0}^n\frac1{k!}-\frac1{0!}-\frac1{1!}\right).\end{aligned}\)
Daraus folgt \(\displaystyle\,\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\le3-\frac1{n!}<3.\)

Answer 1

Aufgabe 2a:  Siehe Wikipedia „Vollständige Induktion“:

Schritt 1:  Induktionsanfang:  Zeige, dass

\( 2^n < n! \)    für   \( n = 4 \)

Schritt 2:  Induktionsschritt:  Es gelte

\( 2^n < n! \)     für   \( n \ge 4 \)

Zeige mit Hilfe dieser Beziehung, dass

\( 2^{n+1} < (n+1)! \)

Comments

Vier Tage ohne Antwort. Dann gehe ich davon aus, dass du nicht weiter interessiert bist. Die meisten Fragesteller verlieren das Interesse schnell, wenn man nicht den gesamten Lösungsweg postet, sondern nur Hilfestellung gibt.