Mengenlehre: Mengen-Gleichheit beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien M, L zwei Mengen. Nun wird behauptet, dass folgende Mengen-Gleichheit gilt:
(M \ L) ∪ (L \ M) = (M ∪ L) \ (M ∩ L)

Problem/Ansatz:

(c) Verifizieren Sie schließlich obige Gleichheit an Hand der Definition der Gleichheit von Mengen, also: A = B genau dann wenn A ⊆ B und B ⊆ A, für zwei Mengen A, B.

Comments

Mach dir ein Venn-Diagramm!

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Der Teilaufgabe b war dies mit Venen-Diagramm zu beweisen! Bis dahin kam ich klar :)

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Mach dir ein Venn-Diagramm!

Ein Venn-Diagramm reicht bei solchen Aufgaben selbstverständlich nicht als Beweis. Es dient höchstens der Veranschaulichung, um nachvollziehen zu können, dass die Mengengleichheit auch tatsächlich gilt.

Answer 1

Ohne Diagramm wohl so:

Sei x ∈ (M \ L) ∪ (L \ M)

==>   x ∈ (M \ L)   oder x ∈ (L \ M)

==>  (x ∈ M und x∉  L)  oder (x ∈ L und x∉ M)

Distributivität von "und" und "oder" nutzen

==> ( (x ∈ M und x∉  L)  oder (x ∈ L )) und ( (x ∈ M und x∉  L)  oder x∉ M)

nochmal

==>  (x ∈ M oder x∈L)  und ( x∉  L oder x ∈ L )

   und ( (x ∈ M oder x∉ M)  und (x∉  L oder x∉ M))

( x∉  L oder x ∈ L ) ist immer wahr, kann also hinter dem "und" weg

ebenso (x ∈ M oder x∉ M)

==>  (x ∈ M oder x∈L)  

  und  (x∉  L oder x∉ M) 

Mit De Morgan  ==>  (x ∈ M oder x∈L) 

  und nicht (x∈ L und x∈M)

Nun ist (x ∈ M oder x∈L) gleichbedeutend mit x∈(M ∪ L)

und  x∈ L und x∈M gleichbedeutend mit x∈(M ∩ L)

Also hast du

(x ∈ M oder x∈L)     und nicht (x∈ L und x∈M)

==> x∈(M ∪ L)   und nicht (x∈ L ∩M)

==>  x ∈ (M ∪ L) \ (M ∩ L).

So ähnlich zeigst du auch

x ∈ (M ∪ L) \ (M ∩ L) ==> x ∈ (M \ L) ∪ (L \ M)

und bist fertig.