Hallo,
also es ist erstmal \(n\mathbb{Z}=\{nk : k \in \mathbb{Z}\}\). Damit dies bzgl. \(+\) eine Untergruppe von \(\mathbb{Z}\) ist, muss einerseits:
(1) \(a,b\in n\mathbb{Z} \Rightarrow a+b\in n\mathbb{Z}\)
und
(2) \(a\in n\mathbb{Z} \Rightarrow -a\in n\mathbb{Z}\).
Exemplarisch mal (1):
Erstmal muss man verstehen, dass \(a,b\in n\mathbb{Z}\) bedeutet, dass es ein ganzzahliges \(k_1\) und ein ganzzahliges \(k_2\) gibt, sodass \(a=nk_1\) und \(b=nk_2\). Nun ist zu klären, ob \(a+b=nk_1+nk_2\) wieder ein Element der Menge ist: Ja, klar - denn: \(a+b=nk_1+nk_2=n(k_1+k_2)\) und \(k_1+k_2\in \mathbb{Z}\), also wieder eine Repräsentation für \(a+b\) im Sinne der obigen Menge.
Schaffst du (2) selbst?
