Untersuchen, ob Zahlen algebraisch über Q sind.

Question

Aufgabe:

Untersuche die folgenden reellen Zahlen darauf, ob sie algebraisch über \( \mathbb{Q} \) sind, und bestimme gegebenenfalls das Minimalpolynom:

\( \frac{23}{5}, \quad \frac{1+\sqrt[3]{5}}{3}, \quad \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} . \)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Ich bin mir noch nicht wirklich sicher, wie ich hier vorgehen muss - eine algebraische Zahl \( x \) ist doch eine reelle oder komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null ist.

\( \frac{23}{5} \) ist rational und daher algebraisch über ℚ mit Minimalpolynom 5x-23?

Wie muss ich jetzt bei \( \frac{1+\sqrt[3]{5}}{3} \) und \( \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) vorgehen bzw. argumentieren?

Danke schon mal für hilfreiche Erklärung im voraus :)

Answer 1

Ich mach es mal für

\(\alpha = \frac{1+\sqrt[3]5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\)

\((3\alpha-1) = \sqrt[3]5 \Rightarrow (3\alpha-1)^3-5 = 0 \)

Ausmultiplizieren und mit 3 Kürzen:

\(p(x) = 9x^3-9x^2+3x-2 = 0 \)

Jetzt brauch man ein Argument, wieso das Polynom über \(\mathbb Q\) irreduzibel ist. Hier kann man z. Bsp. schnell zeigen (per 1. Ableitung), dass \(p\) streng monoton wachsend ist, und somit nur eine reelle Nullstelle hat (unser \(\alpha\)). Damit ist es über \(\mathbb Q\) irreduzibel.

Üblicherweise spricht man von dem Minimalpolynom, wenn man noch den Leitkoeffizienten normiert. Also

\(m(x) = x^3-x^2+\frac x3 - \frac 29\)