Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E und F .

Question

Aufgabe:

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 8 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1 \\ -5 \\ 8 \end{array}\right) \quad ; r, s \in \mathbb{R} \text { gegeben. } \)
a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \( E \) an und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Achsenschnittpunkte.
b) Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 5 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; t \in \mathbb{R} \) zu der Ebene \( E \). Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Ebene \( F: x+y-0,5 z=4 \) zur Ebene \( E \). Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen \( E \) und \( F \).

Answer 1

a) Bestimme einen Normalenvektor mit Hilfe der Richtungsvektoren. Entweder über ein Gleichungssystem oder mit Hilfe des Vektorprodukts. Die Koordinatengleichung hat dann die Form \(E:\, n_1x+n_2y+n_3z=\vec{n}\cdot \vec{p}\). Dabei sind die n-Werte aus dem Normalenvektor und der Vektor \(\vec{p}\) ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.

Die Achsenschnittpunkte kannst du dann berechnen, indem du je zwei der Koordinaten gleich 0 setzt. Für \(y=z=0\) kannst du bspw. den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen, wenn du die Gleichung dann nach \(x\) auflöst.

b) Setze die einzelnen Zeilen der Gerade (mit Parameter) für \(x\), \(y\) und \(z\) in die Koordinatenform ein und löse nach \(t\) auf. Berechne dann mit den Parameter, sofern es eine Lösung ergab, den Schnittpunkt.

Beide Koordinatengleichungen liefern ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Wenn man das löst und eine der Variablen fest wählt, lässt sich jede Variable in Abhängigkeit dieser festen Variable darstellen. Das wiederum kann man dann als Parametergleichung einer Gerade auffassen.

Du solltest in deinen Unterlagen entsprechende Beispiele zu den Rechnungen finden. Schau sie dir an. Erkläre, was deine konkreten Schwierigkeiten sind, damit man dir auch gezielt helfen kann.

Comments

Vielen Dank erstmal für die Antwort. Ich habe die Ebene 2x+2y+z=8 und mit dem LGS habe ich r=-4-4s raus. Damit ich die Schnittgerade berechnen, muss ich r in die Ebene Gleichung einsetzen, aber irgendwie kommt mir der Wert falsch vor oder da geht noch etwas?

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Deine Ebene stimmt.

Jetzt weiß ich allerdings nicht, was bei dir \(r\) und was \(s\) ist. Das passt irgendwie nicht so ganz. Das LGS mit den zwei Ebenen ist sehr leicht. Multipliziere mal die Gleichung von \(F\) mit 2 und subtrahiere die Gleichungen. Was erhältst du dann und was kannst du dann schlussfolgern?