Beweis Determinante A i,j

Question

Aufgabe:

Sei A=(a_k,l)=(s₁,…,s_n)∈M(nxn,K) eine nxn Matrix mit Einträgen a_k,l und Spalten s_j. Für 1≤i, j≤n sei A_i,j=(a‘_k,l)∈M(nxn,K) definiert durch a‘_k,l=a_k,l für k≠i und l≠j, a_k,l=δ_k,i·δ_l,j für k=i oder l=j, wobei δ_s,t das Kronecker-Symbol bezeichnet.

Beweisen Sie, dass det(A_i,j)=det(s₁,…,s_j-1,e_i,s_j+1,…,s_n), wobei e_i der i-te Spaltenvektor der kanonischen Basis von Kⁿ ist.

Wie kann man das zeigen?

Answer 1

Als erstes schreibt man sich mal \(A_{i,j}\) hin (nach Korrektur des Tippfehlers in a_k,l=δ_k,i·δ_l,j). Dann sieht man:

Die j-te Spalte in beiden Matrizen (um deren Determinante es geht) ist gleich (nämlich e_i). Sie unterscheiden sich nur in der i-ten Zeile. Dann wende auf beide Determinanten den Laplace-Entwicklungssatz an (Entwicklung nach der j-ten Spalte). Dann siehst Du, dass die i-te Zeile gar keine Rolle spielt.