Die Vereinigungsmenge unendlich vieler abgeschlossener Mengen kann zwar abgeschlossen sein, muss es aber nicht notwendigerweise sein.
Gegenbeispiel:
( An )n∈N = [ - 1 + ( 1 / n ) , 1 - ( 1 / n ) ]
ist eine Folge von abgeschlossenen Mengen.
Die Vereinigungsmenge
$$\bigcup _{ n=1 }^{ \infty }{ { A }_{ n }=\bigcup _{ n=1 }^{ \infty }{ \left[ -1+\frac { 1 }{ n } ,1-\frac { 1 }{ n } \right] } }$$
jedoch ist nicht etwa das abgeschlossene Intervall [- 1 , 1 ] sondern das offene Intervall ( - 1 , 1 )
Denn egal, wie groß n auch wird, der Ausdruck 1 / n wird immer größer als 0 sein. Damit nähern sich die Ränder des Vereinigungsintervalls zwar - 1 bzw. + 1 an, erreichen diese aber niemals. Daher ist das Vereinigungsintervall eine offene Menge.