Endpunkt einer Strecke anhand von Anfangspunkt, Steigung und Länge berechnen

Question

Wie kann ich den Endpunkt einer Strecke berechnen, wenn ich den Startpunkt, die Länge und die Steigung gegeben habe?

 

Comments

Am einfachsten machst du das mit Vektorrechnung. Hab ihr schon Vektoren?

Hinweis zu den Begriffen: Eine Gerade ist per Definition unendlich lang, wenn da zwei 'Enden' vorhanden sind, spricht man von einer Strecke.

EDIT: 'Gerade' durch 'Strecke' ersetzt.

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Oh, stimmt, editieren kann ich die Frage jetzt aber nicht mehr, oder?

Wir haben zwar schon mit Vektoren gerechnet, aber irgendwie fehlt mir der Ansatz für dieses Problem.

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Was ist dir gegeben ?

Anfangspunkt ( 3  | 4 )
Streckenlänge = 5
Winkel 34 °

Was ist dein Kenntnisstand ? Trigonometrie ?

mfg Georg

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Ja, genau diese Werte sind gegeben. x und y des Anfangspunkt, eine Strecke, z.B. 3, und ein Winkel, z.B. 30°. Versuche gerade den Weg über sinus/cosinus, einfach um das Verständnis dafür zu bekommen, warum dieser Ansatz funktioniert. Die Lösung des Problems über Vektorrechnung ist allgemein in der Tat sehr einfach und gut verständlich. Nur besteht momentan noch das Problem, wie die Länge bzw. der Winkel als Vektor errechnet werden kann. Den Winkel habe ich über arctan(m) errechnet.

Answer 1

Hallo gopeter,

ein Bild sagt mehr als 1000 Worte

PA = Anfangspunkt
PB = Endpunkt
L = Länge
α = Steigungswinkel

Im Dreieck gilt :

sin ( ∝ ) = y / L
y = sin ( α ) * L
YB = YA + y
Jetzt nehmen wir einmal den Pythagoras
L^2 = y^2 + x^2
x^2 = L^2 - y^2
x = √ ( L^2 - y^2 )
XB = XA + x
Ansonsten kann auch mit dem cos gearbeitet werden.
cos ( ∝ ) = x / L
x = cos ( α ) * L

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

 

 

mfg Georg

Answer 2

Eine recht einfache Möglichkeit ohne Vektoren wäre über sinus und cosinus im rechtwinkligen Dreieck die Länge in x bzw. in y Richtung zu berechnen. Dazu zeichne doch einfach mal einen Punkt in ein Koordinatensystem, eine beliebig lange Gerade (die Hypotenuse c) durch diesen Punkt (in der Skizze nun B) und danach eine parallele zur x-Achse (hier liegt die Seite b drauf) . Mit Hilfe der Formel $$cos(\beta) = \frac{b} {c} $$ und auflösen nach B, erhältst du die Länge, die du zum x-Wert des gegebenen Punktes addieren musst: $$b=cos(\beta)*c$$ Mit dem y-Wert machst du es jetzt nach dem gleichen Prinzip. Beta ist deine Steigung, falls du diese als Grad Angabe bekommen hast, ansonsten schreib noch kurz, wie du die Steigung gegeben hast.

Comments

Oh sorry, hab deinen Kommentar erst jetzt gelesen. In deinem Fall und deinem Wissenstand solltest du natürlich die Methode von Ludwig mit den Vektoren wählen. Vielleicht hilft die Skizze ja trotzdem

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Lu statt Ludwig :(

Answer 3

Gegeben sind die Steigung m und die Länge L der Strecke.

Seien nun x und y die Koordinatendifferenzen von End- und Anfangspunkt der Strecke.

Aus (1) m = y/x und (2) L^2 = x^2 + y^2

folgt nach kurzer Rechnung x = L / sqrt(1+m^2) und y = Lm / sqrt(1+m^2).

Werden diese Koordinatendifferenzen zu den Koordinaten des Anfangspunktes addiert, ergeben sich die Koordinaten des Endpunktes.

Diesen Weg finde ich sehr elementar, da er nur die Definiton der Steigung und den Satz des Pythagoras sowie die unmittelbar gegebenen Größen verwendet.