Exponentialgleichungen mit Logarithmus umstellen / lösen: a^ (1/x) = b^x und..

Question

ich habe folgende aufgaben gelöst und bin mir nicht sicher ob es richtig ist oder bzw. wo der fehler liegt ist mir nicht bekannt..

1.

$$a^{\frac{1}{x}}=b^x$$

$$log_a{\frac{1}{x}}=xlog_a{b}$$

$$log_a{1}=x^2log_a{b}$$

$$\sqrt{\frac{log_a{1}}{log_a{b}}}=x$$

2.

$$3*8^x-3*8^{2x-1}=6$$

$$3*8^x-3*8^{2x}*8^{-1}=6$$

$$3*8^x-3(8^x)^2*8^{-1}=6$$

$$8^x-\frac{(8^x)^2}{8}=6$$

$$64^x-8^{2x}=48$$

$$xlog64-2xlog8=log48$$

$$-x=\frac{log48}{log8*log64}$$

$$x=-1,03$$

Answer 1

Hallo subis,

hier meine Lösungen

Die erste Aufgabe habe ich mit ln () gelöst.

Bei der 2.Aufgabe habe ich mir die binomische
Formel zunutze gemacht. Die Probe stimmt.


mfg Georg

Comments

ahh vielen dank, wie kommt das, das man hier den ln nimmt und nicht den log? weil die eulersche zahl ist hier ja nicht vorhanden und ich dachte den ln nutzt man nur wenn man mit e rechnet.

so im groben habe ich es auf jeden Fall verstanden, nur das mit der binomischen formel wäre mir auf keinen fall eingefallen.

bräuchte da wohl noch etwas Übung :D

danke für deine Antwort georgborn! :)
mfg, Subis

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Subis: Du kannst hier den Logarithmus zu einer beliebigen Basis nehmen. Der Unterschied kürzt sich raus.

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Ahh also ist mein Ansatz der ersten Aufgabe gar nicht falsch? :)

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loga1x=xlogab

In dieser (deiner 2. Zeile) stimmt links etwas gar nicht.

Du hast das aber nachher irgendwie wieder richtig hinbekommen.

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alles klar, vielen dank ich werde mich erstmal noch ein wenig damit beschäftigen und wenn ich Probleme habe weiß ich ja wo ich fragen stellen kann wenn noch fragen offen bleiben! :)

mfg, Subis

Answer 2

8^x - 8^{2x-1} = 2

8^x - (8^x)^2/8 = 2

0 = (8^x)^2 - 8*8^x + 16           |Binom!

0 = (8^x - 4)^2

8^x = 4

x = log(4) / log(8) = 2/3

Answer 3

  Aufgabe 2)

Vermittels der Substitution

   u := 8 ^ x   ( 1 )

    wird deine Gleichung zu einer Polynomgleichung:

    3 u - 3/8 u ² = 6 | : 3   ( 2a )

     Kürzen; du hast aber einen falschen Fehler

     u - u ² / 8 = 2   | * 8   ( 3a )

  u ² - 8 u + 16 = ( 3b )

 = ( u - 4 ) ² = 0   ( 3c )

   u1;2 = 4   ( 3d )


   Jetzt machen wir Substitution ( 1 ) rückgängig


   8 ^ x = 4   ( 4a )
 
   8 = 2 ³ ; 4 = 2 ²   ( 4b )
  
   2 ^ 3 x = 2 ² ===> x = 2/3   ( 4c )

   In ( 4b ) magst du logaritmieren oder mit der Treue ===> Injektivität der e-Funktion argumentieren.
  ( Probe geht LMNTar. )

Comments

ahh, danke ;)
hab ich soweit nachvollziehen können, aber was heißt LMNTar.? :D

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  Ich werde hier immer für meine Kalauer gerügt - das heißt " elementar "

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haha, ich dachte erst das wäre eine abkürzung wo jeder große buchstabe etwas abkürzt xD außer das Tar^^
wie meinst du das denn mit der probe das sie elementar geht, verstehe das nicht so ganz.