für 03, 13 und 23 = 1 + 8 = 9 gilt die Aussage offenbar.
Nehmen wir dies als Induktionsverankerung unserer Vollständigen Induktion.
Annahme:
Die Aussage gelte für x, also x3 + (x+1)3 + (x+2)3 ist durch 9 teilbar.
Schluss:
Dann gilt sie auch für (x+1), also (x+1)3 + (x+2)3 + (x+3)3 ist durch 9 teilbar.
(x+1)3 + (x+2)3 + (x+3)3 kann man schreiben als
(x+1)3 + (x+2)3 + (x+3)3 + x3 - x3
Die Summe der rot gekennzeichneten Summanden ist nach Annahme durch 9 teilbar.
Es bleibt demnach zu zeigen, dass der Rest der Summe,
(x+3)3 - x3
ebenfalls durch 9 teilbar ist.
(x+3)3 - x3 =
(x+3) * (x2 + 6x + 9) - x3 =
x3 + 6x2 + 9x + 3x2 + 18x + 27 - x3 =
9x2 + 27x + 27 =
9* (x2 + 3x + 3)
Also ist (x+3)3 - x3 und damit auch
(x+1)3 + (x+2)3 + (x+3)3
durch 9 teilbar, was zu beweisen war.
Besten Gruß