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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{t}_{\mathrm{k}} \) mit \( \mathrm{t}_{k}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \cdot \mathrm{e}^{-0,5 k \cdot x^{2}} \)

Ohne Nachweis kann im Folgenden benutzt werden:

\( \mathrm{f}_{k}^{\prime}(\mathrm{x})=\left(1-\mathrm{k} \cdot \mathrm{x}^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 k x^{2}} ; \mathrm{f}_{\mathrm{k}}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\mathrm{k} \cdot \mathrm{x} \cdot\left(\mathrm{k} \cdot \mathrm{x}^{2}-3\right) \cdot \mathrm{e}^{-0.5 \mathrm{k} x^{2}} \)

blob.png

a) In der Abbildung sind die Graphen zu \( \mathrm{f}_{1} \) und \( \mathrm{f}_{-1} \) dargestellt.

Entscheiden Sie, welcher Graph zu \( f_{1} \) gehört.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Ableitungsfunktion \( \mathrm{f}_{1}^{\prime} \).

Weisen Sie nach, dass die Gerade zu \( \mathrm{y}=\mathrm{x} \) Tangente an alle Graphen von \( t_{k} \) im Ursprung ist.

Untersuchen Sie, ob es möglich ist, den Parameter \( \mathrm{k} \) so zu wählen, dass der Graph von \( \mathrm{t}_{k} \) den Punkt \( \mathrm{H}(2 \mid 1) \) als Hochpunkt hat.


b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Wendepunkte der Graphen von f_{k}.


c) Bestimmen Sie den \( y \)-Achsenabschnitt der Tangente an den Graphen von \( f_{1} \) im Punkt \( P\left(2 \mid f_{1}(2)\right) \).

Zeigen Sie, dass für den \( y \)-Achsenabschnitt \( \mathrm{b}(\mathrm{u}) \) einer Tangente an den Graphen von \( \mathrm{f}_{1} \) im beliebigen Punkt \( P_{u}\left(u \mid f_{1}(u)\right) \) gilt: \( b(u)=f_{1}(u)-f_{1}^{\prime}(u) \cdot u . \)

Ermitteln Sie den größten \( y \)-Achsenabschnitt, den eine Tangente an den Graphen von f, haben kann.

Untersuchen Sie, ob alle Punkte auf den Graphen von \( f_{k} \), in denen die Tangenten waagerecht verlaufen, auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.



Ansatz/Problem:

Zu dem ersten Teil mit der Tangente:

Ich für f´(0) = 1 und nicht 0 also passt das mit der Aussage nicht.

zu dem Parameter:

Ich hab für k = 0,25 mit f´(2) = 0

das passt aber nicht, wenn man es in die Gleichung für f(x) einsetzt (nicht gleich 1 bei 2).

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2 Antworten

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Für Tangente im Ursprung hast du richtig erst mal f ' (o) berechnet.
Das ist = 1 und zwar unabhängig von k.
Für jedes k hat also der Graph von fk bei x=0 eine Tangente mit der
Steigung m=1.
Also haben alle fk bei x=0 eine Tangentemit der Gleichung
                          y = 1 * x + n
Da alle Graphen fk durch den Punkt (0/0) gehen (musst einfach f(0)=0 ausrechnen)
ist der y-Achsenabschnitt der Tangente auch jeweils 0,
alle haben alle fk bei x=0 die gleiche Tangente mit der Gl   y=x.   q.e.d.

Das mit dem Hochpunkt machst du am besten indem du erst mal allgemein
mit k den Hochpunkt ausrechnest (1. Abl = 0 und 2. Abl <  0 etc.)
Das gibt  für k>0 einen Hochpu. bei  H  ( wurzel aus (1/k) |  (wurzel aus (1/k))*e^{-0,5}  )

Damit die erste Koordinate von dem vorgegebenen Punkt stimmt, muss gelten
                          wurzel aus (1/k)  = 2 also  k=0,25
Für diesen Wert ist aber die 2. Koordinate   2*e^{-0,5} und das ist nun nicht gleich 1.
Also kann man das k nicht so wählen, dass (2|1) der HP ist.
Avatar von 289 k 🚀
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1.Ableitung
f ´( x ) = ( 1 - k * x^2 ) * e^{-0.5kx^2}

Für die Steigung der Geraden y = x gilt :
y = 1 * x => m = 1.

Für x = 0 gilt
f ´( 0 ) = ( 1 - k * 0^2 ) * e^{-0.5k*0^2}
f ´( 0 ) = 1 * e^0 = 1 * 1 = 1
Die Steigung für x = 0 beträgt 1.
Der Funktionswert von f (0) = 0,
Die Geraden gehen alle durch durch Ursprung.
Die Aussage stimmt also.

Aussagen
f ( 2 ) = 1
f ´ ( 2 ) = 0  | Extrempunkt
f ´´ ( 2 ) < 0  | Bei einem Hochpunkt ist die Krümmung rechtsgekrümmt, also negativ

f ´ ( 2 ) = ( 1 - k * 2^2 ) * e^{-0.5k2^2} = 0
1 - k * 2^2 = 0
4k = 1
k = 1/4
Für k = 1/ ist bei x = 2 ein Extrempunkt

f ( 2 ) = 2 * e^{-0.5*(1/4)*2^2}
f ( 2 ) = 2 * e^{-0.5} = 1.21

Der Funktionswert 1.21 stimmt nicht mit ( 2  | 1 ) überein.



 

Avatar von 123 k 🚀

f ( x ) = x * e-0.5kx^2
1.Ableitung
f ´( x ) = ( 1 - k * x2 ) * e-0.5kx^2

für k = 1
f ( x ) = x * e-0.5x^2
1.Ableitung
f ´( x ) = ( 1 - x2 ) * e-0.5x^2

f ( 2 ) = 2 / e^2

f ´( 2 ) = -3 / e^2

Tangente
f ( 2 ) = f ´( 2 ) * 2 + b
2 / e^2 = -3 / e^2 * 2 + b
b = 8 / e^2

t ( x ) = -3/e^2 * x + 8 /e^2

Die Tangente führt durch den Punkt ( u | f(u) )
Die Ableitung ( Steigung ) ist f ´(u):
Die Tangente hat die Geradengleichung
f1 ( u ) = f1 ´ (u ) * u + b
b = f1 ( u ) - f1 ´ (u ) * u

f ( x ) = x * e-0.5x^2
f ´( x ) = ( 1 - x2 ) * e-0.5x^2
b = x * e-0.5x^2 - ( 1 - x2 ) * e-0.5x^2  * x
b =   x2 * e-0.5x^2  * x
b =   x^3  * e-0.5x^2 
Maximalwert b ´( x ) = 0
b ´( x ) = x^2 * e-0.5x^2  * ( x^2 - 3 )
x = 0
x^2 - 3 = 0
x^2= 3
x = ±√ 3

x = 0  b = 0
x = 1.732  b =1.16
x = -1.732  b = -1.16


Punkte mit waagerechten Tangenten sind die Extrempunkte.
Gemeint ist ob die Ortskurve der Extrempunkte eine Gerade durch den
Ursprung bildet
1.Ableitung
f ´( x ) = ( 1 - k * x2 ) * e-0.5kx^2
( 1 - k * x2 ) * e-0.5kx^2 = 0
( 1 - k * x^2 ) = 0
k * x^2 = 1
Extrempunkte
x = √ (1/k)
k = 1/x^2
y = x * e-0.5kx^2
ort ( x ) = x * e-0.5*[1/x]2*x^2
ort ( x ) = x * e-0.5
e^{-0.5} ist eine Konstante
Die Ortskurve ist eine Gerade.







danke hast sogar mehr gemacht als ich gefragt hab, aber dadurch konnte ich gut meine Lösung vergleichen. 

aber warum ist der y-Achsenabschnitt b bei b'(x) = 0 maximal und b ist doch keine funktion von der sich die Ableitung bilden lässt. 

An Stelle " Maximalwert  b´( x ) = 0 "
wäre " Extremwert b´( x) = 0 " besser gewesen.
( Noch genauer x-Wert mit waagerechter Tangente )
Da gibt es Minimalwert und Maximalwert .
x = 0 ist der Minimalwert mit  b = 0.

b ist doch keine funktion von der sich die Ableitung bilden lässt. 
Doch schon. Ich kann sagen b ist eine Funktion von x
b =   x3  * e-0.5x2 
b ( x ) =   x3  * e-0.5x2 

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