Zeigen Sie, dass es eine Zahl x_{0} gibt, sodass f(x_{0}) = x_{0} (Fixpunkt)

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion, wobei a < b. Zeigen Sie, dass es eine Zahl x₀ ∈ [a, b] gibt, sodass f(x₀) = x₀.

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich diese Aussage? Wie gehe ich hier voran?

Fixpunkt: https://de.wikiversity.org/wiki/Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition

Answer 1

Betrachte \(g(x):=f(x)-x\). Du kannst zeigen, dass \(g\) eine Nullstelle hat, indem du den Zwischenwertsatz anwendest.