Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n , dass lim x^n / e^x für jedes n ∈ ℕ gilt

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über \( n \), dass

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}}=0 \)

für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

L'Hospital darf verwendet werden.

Comments

L'Hospital anwenden und die Induktionsvoraussetzung benutzen 

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Das habe ich gemacht und nun steht da ((n+1)*x^n)/e^x 

Wie komm ich da jetzt weiter? Ich habe in Erinnerung das man irgend etwas umformen musste bis man auf die InduktionsVoraussetzung(?) kommt?

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Naja du weisst ja das x^n/e^x -> 0 (deine I.V) der Faktor (n+1) ändert da nichts dran :)

Answer 1

So dann mal ran:

Du willst zeigen, wenn \( \frac{x^n}{e^x} \to 0 \) dann gilt auch \( \frac{x^{n+1}}{e^x}\to 0\) für \( x \to \infty\).

Mit L'Hospital und deiner I.V. zeigst du nun (hast du ja schon teilweise)

$$ \lim \limits_{x\to \infty} \frac{x^{n+1}}{e^x}=\lim \limits_{x\to \infty}(n+1)\cdot \frac{x^n}{e^x}= (n+1) \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = (n+1)\cdot 0 = 0$$

Den Faktor (n+1) kannst du aus dem Grenzwert rausziehen, da dieser 

a) nicht von n abhängt und 

b) \( \lim \limits_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} \)existiert (nach IV).

Gruß