Ich beschreibe mal wie ich es jetzt nachträglich gerechnet habe:
1) Ich gehe davon aus, dass die Verbindungsvektoren DC und DA die Vektoren sind, die kreuz multipliziert einen Vektor ergeben, dessen Betrag der Fläche eines Parallelogramms (keines Trapezes) entspricht.
Also: DC = (6/12/-12), DA (5/10/-12)
DC × (=kreuz) DA = (-24/12/0)
Das ganze mal 1/2 weil wir ja nur ein Trapez haben ergibt (-12/6/0)
Betrag von (-12/6/0) ist somit 6√5
2) Da die Allgemeine Formel für die Berechnung der Fläche 1/2*(a+b) * h ist, fehlt uns nun nur noch h. H bestimme ich, indem ich beispielsweise den Abstand des Punktes C (2/3/2) von der Geraden AB (1/1/2)+r*(2/4/-4) bestimme. Dazu bilde ich eine Hilfsebene: Ich nehme also als Normalenvektor der Ebene den Richtungsvektor der Geraden.
Also: 2x1+4x2-4x3=d
D berechne ich nun, indem ich den Punkt C einsetze.
Sprich: 2*(2) + 4*(3) - 4*(2) = 8
Daraus folgt: 2x1+4x2-4x3=8
3) Nun setze ich in diese Ebenen-Gleichung die Gerade ein, um so r zu bestimmen, das dann die Berechnung des Lotfußpunktes ermöglicht.
Also: 2* (1+2r) + 4* (1+4r) -4* (2-4r) = 8
Daraus folgt: r= 0,2777777
4) Nun bestimme ich den Lotfußpunkt, indem ich r in die Geradengleichung einsetze:
(1/1/2) + 0,27777 * (2/4/-4) = (1,5555/2,1111/0,8888) -> Lotfußpunktes
5) Nun nur noch den Verbindungsvektor zwischen dem Lotfußpunkt (hier genannt F) und dem Punkt C bilden.
FC= (2-1,5555/3-2,1111/2-0,8888) = (0,4444/0,8888/1,1111)
Betrag von FC ist also ungefähr 1,49 und damit beträgt die Höhe 1,49
6) Nun alles in die Formel zur Flächenberechnung einsetzen:
A= 6√5 * 1,49 = 20
Müsste doch so korrekt sein oder? Du kommst ja auf fast das gleiche Ergebnis. Wäre nett, wenn du mal kurz meinen Rechenweg nachfolziehst und ggf nachrechnest.
:)
Tobias