Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Question

Es sei a ∈ (0, ∞) und x₀ ∈ ℝ mit 0 < x₀ < a^-1. Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge

(x_n)_n=1∞   mit x_n+1 = 2x_n - ax²_n , n ∈ ℕ₀ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Das ∞ steht über n=1.

Wie zeige ich, dass diese Folge konvergiert und was ist der Grenzwert in diesem Fall?

Answer 1

Wegen x_n+1 = 2x_n - ax²_n    und xo<1/a ist für alle n    x_n ≤ 1/a

denn 2x_n - ax²_n    ≤ 1/a  ⇔   0 ≤   ax²_n    - 2x_n + 1/a  und weil a positiv

⇔   0 ≤   x²_n    - (2/a)x_n + 1/a^2   

⇔   0 ≤   (x_n    -  1/a   )  ^2   und Quadrate sind nie negativ.

Außerdem ist die Folge monoton steigend, da

x_n+1 = 2x_n - ax²_n   = x_n * ( 2 - a*x_n ) und wegen   x_n ≤ 1/a

ist die Klammer ≥ 1.

Also gibt es einen Grenzwert g und da an und an+1 beide gegen g gehen

g = 2g - a*g^2

gibt g=0 oder g=1/a  aber wegen der Monotie ist

also g=1/a  richtig.