a)
"=>" Angenommen x kein Element des Inneren des Komplements von A in X, dann folgt x ist im Abschluss von A und somit: dist(x, A)=0. Wdspr.
"<=" Angenommen dist(x,A)=0, dann $$inf_{a \in A}d(x,a)=0$$ Also ist x ein Häufungspunkt von A und somit liegt er in dem Abschluss von A. Insbesondere kein Element des inneren Komplements von A. Wdpsrch. Damit dist(x,A)>0, da dist(.,A) stets eine nicht negative Funktion ist.
b) Die Abbildung dist(·, A) : X → R, x → dist(x, A), ist Lipschitz-stetig mit L = 1.
Seien x,y beliebige feste Punkte in X.
O.b.d.A. dist (x,A)>=dist(y,A)
$$||dist(x,A)-dist(y,A)||_2=(inf_{a\in A}d(x,a)-inf_{a\in A}d(y,a)) \leq d(x,a')-d(y,a') \leq d(x,y)$$