Lineare Abbildungen (K-Vektorraum)

Question

Seien V und W zwei K-Vektorräume und φ: V → W eine lineare Abbildung. Dann ist

Kern(φ) = {v ∈ V |φ(v)) = 0} ⊆ V

Bild(φ) = {φ(v)|v∈V} = φ(V)⊆W

Konstruieren Sie einen K-Vektorraum V und eine lineare Abbildung φ: V → V , sodass

1. Kern(φ) ⊆  Bild(φ),Kern(φ) ≠{0}, Bild(φ) ≠V

2. Bild(φ) ⊆ Kernφ(),Kern(φ) ≠V,Bild(φ)≠{0}

Answer 1

Lineare Abbildungen können angegeben werden indem die Bilder der Basis angegeben werden. Durch die Bilder der Basis ist eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt.

Sei {a₁, a₂} eine Basis von V und φ: V→V mit φ(a₁) = 0 und φ(a₂) = a₁.

Dann ist {0} ≠ Bild(φ) = Kern(φ) = <a₁>≠V, also hinreichend für sowohl 1. als auch 2.

Comments

Vielen dank bin schon verzweifelt :D