Beweisen ,dass: ln( x + 1) <= 0,5 x für x >= 6 gilt

Question

Wie beweise ich ,dass:   ln( x + 1) <= 0,5 x    für   x >= 6  gilt

Answer 1

Für \(x>4\) gilt \(\exp\left(\dfrac x2\right)>1+\dfrac x2+\dfrac{x^2}8>1+\dfrac x2+\dfrac{4x}8=1+x\).
Daraus folgt \(\dfrac x2>\log(1+x)\).

Answer 2

ln( x + 1) <= 0,5 x    für   x >= 6

ich setze einmal x = 6 ein
ln( 6 + 1) <= 0,5 *6
1.946 <=  3  | stimmt

Vergleich der Steigungen
1 / ( x + 1 )  <= 0.5  | für x > 6
1 <= 0.5 * ( x + 1 )
0.5 <= 0.5 x
x => 1

Der Funktiosnwert der Geraden ist bei x = 6  größer der Funktionswert
der ln - Funktion.
Ab  x = 1 ist die Steigung der Geraden größer als die Steigung
der ln- Funktion.
Die ln Funktion ist für x >= 6 ist stets unterhalb der Geraden.

~plot~ ln ( x + 1 ) ; 0.5 * x ~plot~