Hausdorffsche Umgebung für jeden Punkt. Raum hausdorffsch?

Question

Kann mir bitte jemand bei der nachfolgenden Aufgabe helfen?

Danke.

Wenn jeder Punkt eines Raumes eine hausdorffsche Umgebung besitzt, ist der gesamte Raum dann hausdorffsch?

Answer 1

Nein, aus lokal-Hausdorff folgt nicht Hausdorff:

Sei \(X\) die reelle Zahlengerade mit zwei Ursprüngen, d.h. \(\mathbb{R}\bigcup_{\mathbb{R}\setminus\{0\}}\mathbb{R}\), du verklebst also zwei Kopien von \(\mathbb{R}\) überall außer am Ursprung. Dieser Raum \(X\) ist "offensichtlich" nicht Hausdorff, wenn du dir die Umgebungen der beiden Ursprünge anschaust, die kannst du nämlich nach Definition nicht voneinander trennen durch offene Umgebungen.

Aber \(X\) ist lokal-hausdorffsch: Für alle Punkte \(x\neq 0\) nimmst du die Umgebung \(U_x = (x-\frac{|x|}{2},x+\frac{|x|}{2})\), dieses Intervall kommt nicht in Berührung mit den beiden Ursprüngen, was bedeutet die Umgebung verhält sich genauso wie ein reelles Intervall, sie ist also hausdorffsch. Ist \(x=0_a\lor x=0_b\) einer der beiden Ursprünge (oBdA \(x=0_a\)), dann ist \(U_x=(-1,0)\cup(0,1)\cup\{0_a\}\) eine offene Umgebung von \(x\), die homöomorph zum reellen Intervall \((-1,1)\) ist, also ebenfalls hausdorffsch.

Kleiner Bonus: Deine Vermutung funktioniert für topologische Gruppen, d.h. jede lokal-hausdorffsche topologische Gruppe ist ein Hausdorffraum.

1. Lokal-hausdorffsche Räume sind \(T_1\)-Räume: Sind \(x,y\) zwei Punkte, die du trennen willst, dann existiert eine Umgebung \(U_x\) von \(x\), die Hausdorffsch ist. Ist \(y\in U_x\), dann kannst du innerhalb dieser Umgebung die beiden Punkte trennen, da die Umgebung hausdorffsch ist. Ist \(y\notin U_x\), dann bist du bereits fertig.

2. Topologische Gruppen, die \(T_1\) sind, sind Hausdorffsch: Sei \(G\) eine topologische Gruppe mit neutralem Element \(e\), die ein \(T_1\)-Raum ist. Das ist äquivalent dazu, dass alle einelementigen Mengen \(\{g\}\subseteq G\) abgeschlossen sind. Da \(G\) eine topologische Gruppe ist, ist \(\text{inv}:G\times G\to G, \text{inv}(x,y)=xy^{-1}\) stetig. Die Diagonale in \(G\times G\) kann man jetzt aber als Urbild schreiben: \(\Delta G = \text{inv}^{-1}(\{e\})\), damit ist \(\Delta G\) abgeschlossen und \(G\) hausdorffsch.

Insgesamt geht der Beweis also: Ist \(G\) eine lokal-hausdorffsche topologische Gruppe, dann ist sie insbesondere \(T_1\), aber alle topologischen \(T_1\)-Gruppen sind hausdorffsch.

Comments

Mich würde in dem Kontext mal interessieren, was eine topologische Gruppe ist.

---

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe \((G,\cdot)\) zusammen mit einer Topologie, sodass \((x,y)\mapsto x\cdot y\) und \(x\mapsto x^{-1}\) stetige Abbildungen sind. Die "interessanten" Abbildungen zwischen topologischen Gruppen sind natürlich die stetigen Gruppenhomomorphismen.

---

Sind die interessant, weil sie die Topologie erhalten?

Gibt es unstetige Gruppenhomomorphismen zwischen topologischen Gruppen?

---

Ja, sie sind genau deswegen interessant, weil die meisten interessanten Abbildungen, denen du in der "realen Welt" begegnest (aka Physik), stetig sind. Ein einfaches Beispiel für einen nicht-stetigen Gruppenhomomorphismus ist die Identität \(id:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), wobei das "linke" \(\mathbb{R}\) die indiskrete Topologie besitzt (die einzigen offenen Mengen sind \(\emptyset,\mathbb{R}\)), und das "rechte" \(\mathbb{R}\) die diskrete Topologie (alle Teilmengen sind offen). Das ist ein Isomorphismus von Gruppen, aber kein Isomorphismus von topologischen Gruppen (das müsste ein Gruppenisomorphismus sein, der außerdem ein Homöomorphismus ist).

Man kann generell aus der Topologie in der Algebra viel rausholen, um Dinge in anderen Fächern zu verstehen. Einfaches Beispiel aus der Numerik: Jede Matrix lässt sich approximieren durch invertierbare Matrizen (bedeutet, dass für jede Matrix \(M\) und alle "sinnvollen Matrixnormen" \(||\cdot||\) und jedes \(\varepsilon>0\) eine matrix \(\hat{M}\) existiert, sodass \(||M-\hat{M}||<\varepsilon\)). Das ist numerisch ein ziemlich komplizierter Fakt, in der Welt der Topologie ist es der beinahe triviale Fakt, dass die topologische Gruppe der invertierbaren nxn-Matrizen dicht in der topologischen Halbgruppe der nxn-Matrizen liegt.

---

So gesehen gibt es keine unstetigen Gruppenisomorphismen zwischen topologischen Gruppen, weil die keine Homöomorphismen wären?

---

Nein, so meinte ich das nicht. Wähle dir zwei topologischen Gruppen \(G,H\), die algebraisch die gleiche Gruppe, nur mit einer anderen Topologie sind. Es gibt Isomorphismen \(G\to H\) als Gruppen, die keine Isomorphismen als topologische Gruppen sind, da man per Definition Homöomorphie verlangt, was bei gewöhnlichen Gruppenisomorphismen nicht unbedingt gegeben ist.

---

Was ich meinte ist: Ein Isomorphismus zwischen topologischen Gruppen ist praktisch ein Homöomorphismus.

Ein stetiger Gruppenisomorphismus ist ein Isomporphismus zwischen topologischen Gruppen.

Also könnte man deinen oben stehenden Satz auch formulieren als: "Die "interessanten" Abbildungen zwischen topologischen Gruppen sind natürlich die Homomorphismen."?