OK also ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
*ACHTUNG EVTL KOMPLETT FALSCH*
Ich versuche es mal ein laienhafte Worte zu fassen und sagt mir wenn ich Irre.
Bei der Abgeschlossenheit betrachtet man das Intervall oder die (Teil)-Menge immer,
im "Raum" in der sie sich befindet. bei [0,1] ist das nun Beispielsweise ℝ.
ℝ ist abgeschlossen. Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen.
Daher ist die Leere Menge offen.
Betrachtet man nun [0,∞) ist diese abgeschlossen in ℝ.
Es gibt auch Weder-Noch Fälle wie: (0,1]. In diesem Fall ist das Komplement auch ein Weder-Noch-Fall.
->Frage: dann müsste doch (-∞,0) offen sein? Wenn [0,∞) abgeschlossen ist [0,∞)c = ℝ \ [0,∞) = (-∞,0) was widersprüchlich ist für den Fall das (-∞,0] abgeschlossen ist.
Im Gegensatz zur Abgeschlossenheit bezieht sich die Beschränktheit immer auf die Menge selbst.
Ist das Supremum und Infimum der Menge (kleinste Obere / Untere - Schranke) Teil also ∈ der Menge dan ist diese beschränkt. Sie muss also klar definier(te)/(bare) Grenzen haben die Teil von ihr Selbst sind und keine ungeigentlichen Grenzwerte sind.
Kompakt ist dann alles was beschränkt und abgeschlossen ist.