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da ich leider keinen Ansatz für diese Aufgabe finde, versuche ich es mal hier  Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)= -x^3 + ax^2 - x - ax   (a ∈ ℝ+).
a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.

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Hallo mala,

fa(x)  =  -x3 + ax2 - x - ax  

a)

Schnittstellen zweier verschiedener Funktionen der Schar:

-x3 + ax2  x - ax  = -x3 + bx2 - x - bx    | + x3 | + x

ax2 - ax  = bx2 - bx     | - bx2  | + ax

ax2 - bx2  =  ax - bx

(a-b) * x2 = (a-b) * x  

x2 = x   ⇔  x2 - x = 0   ⇔  x * (x-1) = 0   ⇔  x = 0  oder x = 1

fa(0) = 0   →   S1 (0|0)

fa(1) = - 1 + a - 1 + a  = - 2     →  S2(1| -2)    

b)

fa '(x) = - 3·x^2 + 2·a·x - a - 1

fa"(x)  =  6x - 2a  = 0   ⇔  x = a/3           mit Vorzeichenwechsel von fa"(x) 

fa( a/3) )  =  2·a3/27 - a2/3 - a/3   →   Wendepunkte  Wa( a/3 | 2·a3/27 - a2/3 - a/3 ) 

Ortskurve 

x = a/3  →  a = 3x

y  =  2·a3/27 - a2/3 - a/3  =  2·x3 - 3·x2 - x

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang

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