Hi, wenn die Folge konvergiert muss gelten
$$ a = 1 + \frac{a^2}{4} $$ Diese Gleichung hat die Lösung \( a = 2 \)
Gilt \( a_0^2 > 4 \) folgt \( a_1 > 2 \). Wenn man das fortsetzt folgt auch \( a_n > 2 \). D.h. für Anfangswerte \( a_0^2 > 4 \) kann die Folge nicht konvergieren.
Das die Folge monoton wachsend ist, ist einleuchtend, da ja nur positive Terme addiert werden.
Gilt \( a_0^2 \le 4 \) folgt \( a_1^2 \le 4 \). Induktiv schliesst man, dass auch \( a_n^2 \le 4 \) gilt. Damit ist die Folge für die Anfangswerte \( a_0^2 \le 4 \) beschränkt und somit konvergent.
D.h. für \( -2 \le a_0 \le 2 \) ist die Folge konvergent, ansonsten divergent.