<< Einfach nur als Menge kann ich das verdauen,
<< aber "Raum" triggert bei mir
<< immer die Vorstellung
<< von einem aufgespannten Gebilde
< < mit "Koordinatenachsen"
Lies Wiki; und LERNE ES AUSWÄNDIG . ( Erläuterungen und Beweise alles bei Wiki. )
SATZ und DEFINITION ( Basis )
====================================
Ein Vektorensystem bildet eine Basis, wenn eine der folgenden vier äquivalenten Eigenschaften gegeben ist:
1) eindeutig Erzeugendes
2) minimales "
3) linear unabhängiges "
4) maximal " "
======================================
So viel zu den Koordinatenachsen.
Was ist das, ein " Erzeugendes " ? Bilden z.B. alle ( überabzählbar unendlich ! ) vielen Vektoren des |R ³ ein Erzeugendes? Ja .
Du musst dir jetzt vorstellen, wie " Linearkombination " ( LK ) funktioniert. In jedem Falle ist eine LK eine nur ENDLICHE Summe; Reihen wie z.B. Taylor-oder Fourierreihen sind NICHT zugelassen. Du kannst also z.B. in einer Basis einen " unendlichen Werkzeugkasten " vor dir haben, darfst aber in jedem konkreten Einzelfall nur eine endliche Auswahl treffen.
In der Tat ist die Dimension deines Vektorraums C Aleph_1 = überabzählbar unendlich.
Das ist den Matematikern jetzt mehr als peinlich; denn woher weiß man überhaupt, dass z.B. c ( als reeller Vektorraum ) eine Basis besitzt?
Das geht nicht mehr ohne ===> Ordinalzahlen ( Online übrigens ganz super erklärt mit bunten Diagrammen ) und den ===> Wohlordnungssatz ( WOS ) ; beides scheuen die Matematiker wie der Teufel das Weihwasser. Obwohl sie diese Kröte mit dem ===> Auswahlaxiom längst geschluckt haben.
Du hättest also sehr wohl Basisfunktionen in Analogie zu den Koordinatenachsen
f1 , f2 , f3, ..... , f_r ; r < Aleph_1 ( 1 )
( Aleph_1 übernimmt hier die typische Rolle einer ===> Gtenzzahl )
Ich wollte dir nur gesagt haben, dass du durchaus in die richtige Richtung denkst. Es ist den Matematikern nur eben peinlich.
Vielleicht ist es ja wie in der Biologie. Wo kommen die Kinder her? Eine einfache Frage; und die Antwort ist auch ganz logisch. Nur vielen Eltern ist sie halt peinlich ...
Nimm doch ein näher liegendes Beispiel. Oft hilft es ja, sich etwas Kompliziertes, was man nur halb verstanden hat, erst mal an einem einfachen Beispiel klar zu machen, das du missverstanden hättest, wenn man dir das Richtige, das Komplizierte nie gesagt hätte.
Nimm doch erst mal den Raum der Polynome über |R; den notiert man traditionell |R [ x ] Und? Was wäre hier eine Basis?
Z:B. die Potenzen
x ^ 0 , x ^ 1 , x ² , x ³ , x ^ 4 , ...... ( 2 )
also ( abzählbar ) unendlich viele. Denk daran; ich hatte dir gesagt: Taylorreihen darfst du aus den Basisfunktionen ( 2 ) nicht bilden; der Grad eines Polynoms ist immer endlich, nämlich sein höchster von Null verschiedener Koeffizient,
Und die Ordinalzahl von ( 2 ) ist die kleinste " transfinite " Grenzzahl
w ( Ich meine Omega ) = Aleph_0 = |N ( 3 )
( Vom Standpunkt einer Ordinalzahl ist das nämlich alles das selbe; die Gleichheitszeichen sind wörtlich zu nehmen. )