( x + 4 ) ( x - 6 ) = 504 ( 1a )
x ² - 2 x - 24 = 504 | + 24 ( 1b )
x ² - 2 x = 528 | + QE ( 1c )
Hier sieht man es doch sofort; die Metode der quadratischen Ergänzung ( QE ) funktioniert am Schnellsten:
( x - 1 ) ² = 529 = 23 ² | sqr ( 2a )
Bei der traditionellen Metode musst du Quadratzahlen kennen .
x - 1 = 23 ===> x = 24 ( 2b )
Ich habe noch eine Alternative entwickelt; dein Lehrer kennt sie nicht. Sie setzt auf das bei den Schülern so sehr beliebte Knobeln so wie die Ermittlung von Teilern.
Ausgangspunkt ist der ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Das hat mir an meiner Wiege auch keiner gesungen, dass es mir einmal beschieden sein sollte, die größte Fälschung in der Geschichte der Matematik zu entlarven: Wiki et al. behaupten doch Tatsache, Entdecker des SRN si Gauß.
Entdecker unbekannt; wahrscheinliches Entdeckungsjaht nach meinen bisherigen Recherchen 1975 . Du siehst, Matematik muss gar nicht so dröge und unspannend sein.
f ( x ) = x ² - p x + q = 0 ( 3a )
p = 2 ; q = ( - 528 ) ( 3b )
Polynom ( 3ab ) ist normiert; hier verlangt der SRN , dass beide Wurzeln ganzzahlig sein müssen. Dann besagt aber Vieta
q = x1 x2 = ( - 528 ) ( 4 )
Sämtliche Zerlegungen der 528 anzugeben, scheint dann doch eher aussichtslos. Aber vor mir hat sich eben auch nnoch niemand gefragt, was ggt x1;2 sein könnte. Sei m ein Teiler; dann folgt abermals aus dem Satz von Vieta
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 5a )
Ein m, das die rechte Seite von ( 5a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 3ab ) heißen - " K " wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt, in unserem Fall offenbar 2 . Die Behauptung in ( 3ab )
ggt x1;2 = gkt ( f ) ( 5b )
Frage: Lässt sich ein Polynom durch seinen gkt kürzen analog dem ggt eines Bruches? Ja; und das geschieht vermöge der Substitution
x =: u * gkt ( f ) = 2 u ( 5c )
Jetzt ( 5c ) einfüttern in ( 3ab )
( 2 u ) ² - 2 ( 2 u ) - 2 ² * 132 = ( 6a )
= 2 ² ( u ² - u - 132 ) = 0 ( 6b )
Erfahren vom SRN habe ich im Jahre 2011; noch in der nämlichen Woche gelang mir die Entdeckung des gkt. Mein Fälschungsvorwurf ist schon begründet; es ist schlechterdings nicht nachvollziehbar, dass in den 200 Jahren seit Gauß niemand vor mir auf diesen gkt gestoßen sein soll.
Die 132 hat die Primzahlzerlegung 132 = 2 ² * 3 * 11 . Doch jetzt müssen ja u1;2 Teiler fremd sein; und das heißt in erster Linie, du darfst das Zweierpäckchen niemals aufschnüren. Vioel mehr müssen wir zerlegen 132 = 3 * 4 * 11 Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer Vieta p
p = u1 + u2 ( 7a )
Zerlegen müssen wir ein Produkt aus drei Faktoren; hier herrscht strengste Binominalstatistik . ( 3 0 ) = 1 triviale Zerlegung
u1 = ( - 1 ) ; u2 = 132 ; p = 131 ( 7b )
( Wegen p > 0 muss die betragsgrößere Wurzel stets die positive sein. ) Und dann noch ( 3 1 ) = 3 Zerlegungen mit einem Faktor
u1 = ( - 3 ) ; u2 = 4 * 11 = 44 ; p = 41 ( 7c )
u1 = ( - 4 ) ; u2 = 3 * 11 = 33 ; p = 29 ( 7d )
u1 = ( - 11 ) ; u2 = 3 * 4 = 12 ; p = 1 ( 7e ) ; ok
x1 = ( - 22 ) ; x2 = 24 ( 7f )
