Eindeutigkeit von Lösung durch Banachschen Fixpunktsatz, Lösung durch Approximation

Question

ich bitte um eine ausführliche Lösung mit Erklärung, da ich leider schon beim Verständnis einige Probleme habe.

Ich danke vielmals im Voraus!

Beweisen Sie mittels Banachschem Fixpunktsatz, dass die Integralgleichung

(1) y(x):= T[y](x)= 1 + ∫₀^x ty(t) dt  x∈[-1,1] eine eindeutig bestimmte Lösung y :[-1,1] →R besitzt im Raum C[1,1]

der stetigen Funktionen versehen mit der Maximumnorm. Berechnen Sie die Lösung y= lim n→∞ von (1)

durch die sukzessive Approximation

y _n+1 (x) = 1 + ∫₀^x t y_n(t) dt        y₀(x)=1   x∈[-1,1]

Answer 1

Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann man mit Hilfe des Banachscher Fixpunktsatz mit kontrahierender Potenz beweisen, siehe hier

https://www.math.uni-bielefeld.de/~emmrich/studenten/ba-andrea.pdf Kapitel 2.4

Deine Integralgleichung ist vom Volterrascher Typ. Die Anwendung des Fixpunktsatzes kannst Du hier nachlesen

https://www.math.uni-bielefeld.de/~emmrich/studenten/ba-andrea.pdf Kapitel 4.2

Die Iteration ergibt folgendes.

$$  y_1(x) = 1 + \int_0^x t dt = 1 + \frac{x^2}{2} $$

$$  y_2(x) = 1 + \int_0^x t \left( 1 + \frac{t^2}{2} \right) dt = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2 \cdot 4} $$

$$  y_3(x) = 1 + \int_0^x t \left( 1 + \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{2 \cdot 4} \right) dt = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2 \cdot 4} + \frac{x^6}{2 \cdot 4 \cdot 6} $$ usw.

Es ergibt sich insgesamt

$$  y_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^{2k}}{2^k k!}  = \sum_{k=0}^n \frac{ \left( \frac{x^2}{2} \right)^k }{k!} \to e^\frac{x^2}{2} $$

Andererseits bekommt man durch differenzieren der Integralgleichgung folgende Dgl.

$$ y'(x) = x y(x) \text{ mit } y(0) = 1 $$ Trennen der Variablen führt auf

$$ y(x) = e^\frac{x^2}{2} $$