Beweisen und Gegenbeispiele bei Mengen

Question

Ich bearbeite gerade Aufgaben, bei denen es darum geht Mengenrelationen zu beweisen. Wenn ich sehe, dass die Behauptung stimmt, soll ich allgemein beweisen, wenn es offensichtlich falsch ist soll ich ein Gegenbeispiel finden. Mich stört aber irgendwie diese Herangehensweise.

Dabei können ja schließlich auch Fehler auftreten, denke ich mir.

Um etwas zu beweisen, kann doch nicht die Methode eines Mathematikers sein, dass er abschätzt ob die Sache stimmt oder nicht um dann den einen Weg oder den anderen geht. Vielleicht findet er kein Gegenbeispiel und schlussfolgert also, dass die Behauptung stimmt. Dann gibt es aber vielleicht doch ein Gegenbeispiel, welches nur nicht von ihm gefunden wurde. Also ich meine solch eine Herangehensweise führt doch

1. zu falschen Schlussfolgerungen, ist also nicht hieb- und stichfest und geht

2. davon aus, dass das zu beweisende sowieso offensichtlich ist, ich also schon vorher weiß ob es stimmt oder nicht. Wozu muss ich dann aber so etwas triviales noch beweisen.

Ich finde diese Herangehensweise irgendwie schwammig. Kann mich jemand vielleicht erleuchten :D. Vielen Dank schon einmal für Antworten.

Answer 1

Wenn ich sehe, dass die Behauptung stimmt, soll ich allgemein beweisen,

Wenn die Behauptung stimmt, aber du es nicht siehst, dann gibt's 0 Punkte für die Berarbeitung der Aufgabe.

wenn es offensichtlich falsch ist soll ich ein Gegenbeispiel finden.

Streiche das Wort "offensichtlich".

kann doch nicht die Methode eines Mathematikers sein, dass er abschätzt ob die Sache stimmt oder nicht um dann den einen Weg oder den anderen geht.

Doch, das ist die Methode eines Mathematikers. Zu dieser Methode gehört aber auch, seine Einschätzung gegebenenfalls zu ändern solange noch kein Beweis der Aussage oder ihres Gegenteils vorliegt.

Vielleicht findet er kein Gegenbeispiel und schlussfolgert also, dass die Behauptung stimmt.

Das ist eine sogenannte  induktive Schlussfolgerung. Solche werden in der Mathematik lediglich dazu verwendet, Vermutungen aufzustellen. Alle anderen Wissenschaften verwenden induktive Schlussfolgerungen als legitimes Mittel zum "Beweis" von Sätzen: Alle Steine, die ich über einem Brunnen losgelassen habe, fallen nach unten; also fallen alle Steine nach unten.

Mathematische Beweise werden dagegen mittels Deduktion geführt. Auf dem Weg zum Beweis darf man aber natürlilch alle anderen Arten der Schlussfolgerung verwenden.

Answer 2

Deutlich anders kann man aber wohl nicht an die Sache herangehen,

bzw. es hat bisher niemand eine andere

Herangehensweise gefunden. Deshalb gibt es wohl auch

eine ganze Reihe von Fragen, zu denen es keine

Antworten bzw. nur Vermutungen gibt.

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungelöste_Probleme_der_Mathematik