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Gegeben ist folgende Aufgabe zu der ich den Grenzwert berechnen soll:

$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} $$


Ist meine Beweisführung schlüssig? Wenn nicht kann einer dann posten was ich ändern sollte?


$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} \\ (\sqrt[1]{2^1+5^1}=7;\sqrt[2]{2^2+5^2}\approx 5,3851;\sqrt[3]{2^3+5^3}\approx 5,1044;\sqrt[4]{2^4+5^4}\approx 5,0316) \\[10pt] \text{Behauptung: } \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^k+5^k}=5 \\\text{Beweis: } \\\text{ Sei ε>0 wähle dann  }n_0: n_0 \leq 5  \forall \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε : \forall k \gt n_0 \\\Longrightarrow \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε \Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k}-5 \lt ε \\\Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k} \lt ε+5 \\[10pt]\text{Beweis 1.1:} \\\text{Durch den Definition des binomischen Lehrsatzes lässt sich folgendes umschreiben: } \\\sqrt[k]{2^k+5^k}=({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{k}\\0 \end{pmatrix}*(2^k)^{\frac{1}{k}}*(5^k)^{\frac{1}{k}}+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}}= 1*2*5+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \\\text{Einsetzen in den Hauptbeweis: } \\\Longrightarrow ({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \lt ε+5 \\\Longleftrightarrow  10-5\lt ε \\\Longleftrightarrow 5\lt ε \\\Longrightarrow n_0 \leq 5\lt ε$$

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Tipp: Zeige, dass \(5<a_k<5\cdot\sqrt[k]2\) für alle \(k\in\mathbb N\) gilt und wende den Einschnürungssatz an.

Danke für den Tipp!


Meinst du vielleicht mit dem Einschnürungssatz den Sandwitchsatz?

Ja. Einschnürungssatz, Sandwichsatz oder Quetschlemma. Es gibt dafür noch mehr Bezeichnungen.

Dank dem Tip von Spacko habe ich die Aufgabe so gelöst:


$$\text{Bestimme den Grenzwert von: } a_k:= \sqrt[k]{2^k+5^k} \\\forall k\in \mathbb{N}: \sqrt[k]{5} \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq \sqrt[k]{5^k+5^k} \\\Longleftrightarrow 5 \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq 5\sqrt[k]{2} \\[5pt] \text{ Beweis 1.1: Bestimme die konvergenz von: } 5\sqrt[k]{2} \\\text{ Beweis 1.2: Bestimme die konvergenz von: } \sqrt[k]{2} \\ \forall k \in \mathbb{N}, k\geq2: \sqrt[k]{1}\leq \sqrt[k]{2} \leq\sqrt[k]{k} \\\Longleftrightarrow 1 \leq \sqrt[k]{2} \leq \sqrt[k]{k} \\\text{ Ich habe bereits bewiesen, dass: } \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{k}=1 \\\text{ Diesen Beweis werde ich ein andersmal zeigen.} \\\Longrightarrow 1 \leq \sqrt[k]{2} \leq 1 \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2}=1 \\\text{ Einsetzen in den Beweis 1.1:} \\\Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}5 *\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2}= 5*1=5 \\\text{ Einsetzen in den Hauptbeweis:} \\\Longrightarrow 5 \leq \sqrt[k]{2^k+5^k} \leq 5 \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{2^k+5^k}=5 \blacksquare$$

1 Antwort

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Hallo

 was du in deinem Beweis machst verstehe ich nicht. 1. n0<5 ist recht sinnlos, später kommt dann  der binomische Satz falsch, und unter anderem (2^k+5^k)1/k >10 wobei du willst dass das für große k nahe an 5 ist?

du musst den Beweis leider in den Papierkorb werfen, entweder Sandwich oder nach unten beschränkt und monoton fallend sind Wege.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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