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Aufgabe:

Es sollen alle \( q \in \mathbb{Q} \) bestimmt werden, sodass \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^q}} \) konvergiert.


Problem/Ansatz:

Hab das Quotientenkriterium versucht was mich nicht weiter gebracht hat, da der Quotient gegen 1 konvergiert. Das Wurzelkriterium scheint mir hier auch nicht zu passen.

Man kann das ganze auch mit der 3. binomischer Formel umformen: \( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^q} =  \frac{1}{n^q(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)  Aber wirklich weiter hat mich das auch nicht gebracht..

Jemand Tipps wie man hier vorgehen muss?

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Probiere mal mit Fallunterscheidung. q=1, q= -1, etc.

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