Aufgabe:
Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f, deren Graph im Punkt (1 / 0) einen Hochpunkt und im Punkt (-1 / 0) einen Tiefpunkt hat.
Problem/Ansatz:
Ich habe mir dazu folgende Gedanken gemacht: Da die Funktion auf der x-Achse jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt hat, muss sie insgesamt mindestens 4 Extrema haben. Also muss die Funktion mindestens 5. Grades sein. Ich kann Punktsymmetrie annehmen, also nur noch 3 Unbekannte.
Durch den Punkt (1 / 0) erhalte ich: 0 = a+b+c
Durch den Hochpunkt (1. Ableitung) erhalte ich: 0 = 5a+3b+c
Jetzt habe ich 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Ich wähle eine Unbekannte frei, da ja nur eine von vielen Funktionsgleichungen zu finden ist. Ich subtrahiere die beiden Gleichungen voneinander und wähle a=2. Dann erhalte ich b=-4 und c=2
Somit wäre f(x) = 2x5 - 4x3 + 2x
Kann jemand meine Rechnung bestätigen oder gibt es noch einen anderen Lösungsweg?