Was ist jetzt der Unterschied zwischen den beiden.
Unterschiede sind:
In der einen Gleichung steht x im Exponenten, in der anderen Gleichung stehtz k*t im Exponenten.
In der einen Glechung steht a in der Basis, in der anderen GLeichung steht e in der Basis.
Wann verwende ich welche oder sind beide das selbe?
Die eine Form kann in die andere Form überführt werden:
\(\begin{aligned} a^{x} & =e^{\ln\left(a^{x}\right)} & & \text{laut Definition }\ln\\ & =e^{x\cdot\ln\left(a\right)} & & \text{laut Logarithmusgesetzen} \end{aligned}\)
mit \(t = x\) und \(k = \ln a\).
Für welche Form du dich entscheidest, ist also prinizpiell egal. Manchmal ist jedoch in der Aufgabenstellung eine bestimmte Form vorgeschrieben.
was die einzelnen Parameter also c, k, t und so dieser Funktionen bedeuten
c ist der Anfangsbestand.
x und t sind die Anzahl der Wachtumsperioden.
a ist der Wachstumsfaktor. Bei einem Wachtum von p% pro Wachstumsperiode ist a = (1 + p/100) und entsprechend a = (1 - p/100) bei einer Abnahme um p%. Das a ist also dafür verantwortlich, wie schnell etwas wächst oder abnimmt.
Wird e ≈ 2,718281828 als Basis genommen, dann muss natürlich auf andere Weise die Wachstumsgeschindigkeit beschrieben werden. Dazu ist das k da.
