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Sei N eine naturliche Zahl, welche die Dezimaldarstellung
N = a_r*a_r−1 . . . a_2*a_1*a_0 ,
besitzt. Hier sind ai 2 {0, 1, 2, . . . , 9} und r 2 N, r # 1.
Behauptung: N ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die 2-stellige Zahl a_1a_0 durch
4 teilbar ist:
4|N () 4|a1a0
(a) Prufen Sie die Behauptung fur N = 1312 .
(b) Beweisen Sie die Behauptung im allgemeinen Fall.
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Ich nehme an, dass in der Darstellung  

N = a_r*a_r−1 . . . a_2*a_1*a_0

keine " * " gehören, dass N also so ausseht:

N = ar ar−1 . . . a2 a1 a0

und dass dieser Satz:

Hier sind ai 2 {0, 1, 2, . . . , 9} und r 2 N, r # 1.

so lauten soll:

Hier sind die ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} und r ∈ N, r ≠ 1

und dass schließlich mit

4|N () 4|a1a0

gemeint ist:

4 | N <=> 4 | a1 a0

Das ist auch die Behauptung.

 

a) Die Zahl 1312 ist in der angegebenen Form

mit r = 3 und a3 = 1, a2 = 3, a1 = 1 und a0 = 2.

Die zweistellige Zahl a1 a0 ist hier: a1 a0 = 12. Diese ist durch 4 teilbar: 12 / 4 = 3

Damit ist gemäß der Behauptung auch 1312 durch 4 teilbar, was auch stimmt, denn: 1312 / 4 = 328

(328 ist übrigens gemäß der Behauptung auch wieder durch 4 teilbar, da 28 durch 4 teilbar ist.)

 

b)

A) Ich zeige zunächst: 4 | a1 a0 ⇒ 4 | N

Es gilt:

Satz 1) Sind zwei Zahlen a und b durch k teilbar, dann ist auch die Summe a + b durch k teilbar:

( k | a und k | b ) => k | ( a + b ) . 

Beweis: k | a und k | b => a = k * m und b = k * n

=>  a + b = k * m + k * n = k * ( m + n )

=> k | ( a + b )

Satz 2) Ist von zwei Zahlen x und y  mindestens eine durch k teilbar, dann ist auch das Produkt x * y durch k teilbar.

( k | x oder k | y ) => k | ( x * y )

Beweis: k | x oder  k | y => x = k * m oder y = k * n

=>  x * y = k * m * y oder x * y = x * k * n

=> k | ( x * y )

 

Jede Zahl N, die die Dezimaldarstellung 

N = ar ar−1 . . . a2 a1 a0

besitzt, kann in die Summe

N = N1 + N0

mit  N1 = ( ar ar−1 . . . a2  ) * 100 und N0= a1 a0

zerlegt werden (Beispiel: 1312 = 13 * 100 + 12 )

Wegen 4 | 100 ( 100 / 4 = 25 )

gilt gemäß Satz 2 auch

4 | ( ar ar−1 . . . a2  ) * 100

also 4 | N1.

Wenn nun auch noch gilt: 4 | N0 , also 4 | a1 a0

dann gilt gemäß Satz 1 auch

4 | ( N1 + N0 ) => 4 | N 

 

B) Nun die andere Richtung, also: 4 | N => 4 | a1 a0

Satz 3: Ist die Summe ( a + b ) durch k teilbar und ist auch einer ihrer Summanden durch k teilbar, dann ist auch der andere Summand durch k teilbar: 

k | a und k | ( a + b ) => k | b

Beweis:

k | a und k | ( a + b )

=> a = m * k und ( a + b ) = r * k

=> m * k + b = r * k

=> b = r * k - m * k  = ( r - m ) * k

=> k | b

( Ebenso wird gezeigt: k | b und k | ( a + b ) => k | a )

 

4 | N => 4 | ar ar−1 . . . a2 a1 a0

[Zerlegung der Zahl ar ar−1 . . . a2 a1 a0 in eine Summe:]

=> 4 | ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100 + a1 a0

[ Es gilt 4 | 100 also gilt gemäß Satz 2 auch 4 | ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100 und damit folgt aus Satz 3:]

=> 4 | a1 a0

q.e.d.

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