Ich nehme an, dass in der Darstellung
N = a_r*a_r−1 . . . a_2*a_1*a_0
keine " * " gehören, dass N also so ausseht:
N = ar ar−1 . . . a2 a1 a0
und dass dieser Satz:
Hier sind ai 2 {0, 1, 2, . . . , 9} und r 2 N, r # 1.
so lauten soll:
Hier sind die ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} und r ∈ N, r ≠ 1
und dass schließlich mit
4|N () 4|a1a0
gemeint ist:
4 | N <=> 4 | a1 a0
Das ist auch die Behauptung.
a) Die Zahl 1312 ist in der angegebenen Form
mit r = 3 und a3 = 1, a2 = 3, a1 = 1 und a0 = 2.
Die zweistellige Zahl a1 a0 ist hier: a1 a0 = 12. Diese ist durch 4 teilbar: 12 / 4 = 3
Damit ist gemäß der Behauptung auch 1312 durch 4 teilbar, was auch stimmt, denn: 1312 / 4 = 328
(328 ist übrigens gemäß der Behauptung auch wieder durch 4 teilbar, da 28 durch 4 teilbar ist.)
b)
A) Ich zeige zunächst: 4 | a1 a0 ⇒ 4 | N
Es gilt:
Satz 1) Sind zwei Zahlen a und b durch k teilbar, dann ist auch die Summe a + b durch k teilbar:
( k | a und k | b ) => k | ( a + b ) .
Beweis: k | a und k | b => a = k * m und b = k * n
=> a + b = k * m + k * n = k * ( m + n )
=> k | ( a + b )
Satz 2) Ist von zwei Zahlen x und y mindestens eine durch k teilbar, dann ist auch das Produkt x * y durch k teilbar.
( k | x oder k | y ) => k | ( x * y )
Beweis: k | x oder k | y => x = k * m oder y = k * n
=> x * y = k * m * y oder x * y = x * k * n
=> k | ( x * y )
Jede Zahl N, die die Dezimaldarstellung
N = ar ar−1 . . . a2 a1 a0
besitzt, kann in die Summe
N = N1 + N0
mit N1 = ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100 und N0= a1 a0
zerlegt werden (Beispiel: 1312 = 13 * 100 + 12 )
Wegen 4 | 100 ( 100 / 4 = 25 )
gilt gemäß Satz 2 auch
4 | ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100
also 4 | N1.
Wenn nun auch noch gilt: 4 | N0 , also 4 | a1 a0
dann gilt gemäß Satz 1 auch
4 | ( N1 + N0 ) => 4 | N
B) Nun die andere Richtung, also: 4 | N => 4 | a1 a0
Satz 3: Ist die Summe ( a + b ) durch k teilbar und ist auch einer ihrer Summanden durch k teilbar, dann ist auch der andere Summand durch k teilbar:
k | a und k | ( a + b ) => k | b
Beweis:
k | a und k | ( a + b )
=> a = m * k und ( a + b ) = r * k
=> m * k + b = r * k
=> b = r * k - m * k = ( r - m ) * k
=> k | b
( Ebenso wird gezeigt: k | b und k | ( a + b ) => k | a )
4 | N => 4 | ar ar−1 . . . a2 a1 a0
[Zerlegung der Zahl ar ar−1 . . . a2 a1 a0 in eine Summe:]
=> 4 | ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100 + a1 a0
[ Es gilt 4 | 100 also gilt gemäß Satz 2 auch 4 | ( ar ar−1 . . . a2 ) * 100 und damit folgt aus Satz 3:]
=> 4 | a1 a0
q.e.d.