0 Daumen
928 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix \( A \) mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
{1} & {1} & {2} \\
{2} & {1} & {1} \\
{-1} & {1} & {3}
\end{array}\right)
\]

Ich habe Probleme die Inverse zu dieser Matrix zu finden. Das Verfahren mit den Einheitsvektor ist mir geläufig, jedoch sind die Umformungsschritte problematisch für mich. Könnte mir jemand eine Schritt für Schritt Hilfestellung geben? Bzw. mir die Inverse verraten damit ich sie mit meiner Vergleichen kann?

Avatar von

4 Antworten

+1 Daumen


Avatar von 123 k 🚀

Prinzipiell top aber die Aufgabe war:

Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix A mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:

Aber der Hinweis auf Erklärungen im Netz ist damit gegeben.

+1 Daumen

Aloha :)

Beim Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrix-Inversion schreibt man die Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(E\) direkt nebeneinander. Dann führt man mit elementaren Zeilenumformungen die linke Matrix in die Einheitsmatrix über und führt die dazu nötigen Schritte auch bei der rechten Matrix durch. Am Ende des Verfahrens steht dann links die Einheitsmatrix und rechts die invertierte Matrix.

$$\begin{array}{r}I: & 1 & 1 & 2 &|& 1 & 0 & 0&\\II: & 2 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0&-2\cdot I\\I: & -1 & 1 & 3 &|& 0 & 0 & 1&+I\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 1 & 2 &|& 1 & 0 & 0&+II\\II: & 0 & -1 & -3 &|& -2 & 1 & 0&\\I: & 0 & 2 & 5 &|& 1 & 0 & 1&+2\cdot II\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0&\\II: & 0 & -1 & -3 &|& -2 & 1 & 0&\cdot(-1)\\I: & 0 & 0 & -1 &|& -3 & 2 & 1&\cdot(-1)\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0&+III\\II: & 0 & 1 & 3 &|& 2 & -1 & 0&-3\cdot III\\I: & 0 & 0 & 1 &|& 3 & -2 & -1&\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & 0 &|& 2 & -1 & -1&\\II: & 0 & 1 & 0 &|& -7 & 5 & 3&\\I: & 0 & 0 & 1 &|& 3 & -2 & -1&\end{array}$$

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Inverse zur Kontrolle

[1, 1, 2; 2, 1, 1; -1, 1, 3]^(-1) = [2, -1, -1; -7, 5, 3; 3, -2, -1]

Avatar von 487 k 🚀

Inverse mit dem Gauß-Jordan-Verfahren

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[2, 1, 1, 0, 1, 0]
[-1, 1, 3, 0, 0, 1]

II - 2*I ; III + I

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -1, -3, -2, 1, 0]
[0, 2, 5, 1, 0, 1]

III + 2*II

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -1, -3, -2, 1, 0]
[0, 0, -1, -3, 2, 1]

-II, -III

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, 1, 3, 2, -1, 0]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

I - 2*III ; II - 3*III

[1, 1, 0, -5, 4, 2]
[0, 1, 0, -7, 5, 3]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

I - II

[1, 0, 0, 2, -1, -1]
[0, 1, 0, -7, 5, 3]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

Fertig

0 Daumen

Studiere mal das Gauss-Jordan-Verfahren. Du sollst gemäss Aufgabenstellung damit arbeiten.

Bzw. mir die Inverse verraten damit ich sie mit meiner Vergleichen kann?

Du kannst das selbst kontrollieren. Multipliziere dein Resultat mit der gegebenen Matrix. Da muss die Einheitsmatrix herauskommen.

Avatar von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community