\( x_n = \sqrt{n^{2}+an+b}-n \)
Tipp: Erfinde einen Bruchstrich. Schreibe 1 unter den Bruchstrich und erweitere den Bruch gemäss 3. binomischer Formel. (Mal unter der Annahme dass b nicht 0 ist)
[spoiler]
x_n= sqrt(n^{2}+an+b)-n
= sqrt(n^{2}+an+b)-n / 1
= (sqrt(n^{2}+an+b)-n) (sqrt(n^{2}+an+b) +n) / ( sqrt(n^{2}+an+b) + n)
= ((sqrt(n^{2}+an+b))^2 - n^2) / ( sqrt(n^{2}+an+b) + n)
= (| n^{2}+an+b | -n^2) / ( sqrt(n^{2}+an+b) + n) | Sobald n genügend gross ist
kann man die Betragstriche oben weglassen.
(=*) = (n^{2}+an+b -n^2) / ( sqrt(n^{2}+an+b) + n) | Für genügend grosse n.
= (an+b) / ( sqrt(n^{2}+an+b) + n) | kürzen mit n
= (a + b/n) / (sqrt(n^2/n^2 + a/n + b/n^2) + 1)
= (a + b/n) / (sqrt(1 + a/n + b/n^2) + 1)
Grenzwert n-> unendlich
----> (a + 0) / ( sqrt(1 + 0 + 0) + 1) = a /(1+1) = a/2 .
Nachtrag:
Fall a = 0 kannst du gleich rechnen oder an der rotmarkierten Stelle bereits ablesen.
Grenzwert ist 0.
